1. Problem: Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (x^4 - 4) \cdot (x^3 + 1)$ durch Anwendung der Produktregel. 2. Die Produktregel lautet: $$\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$ 3. Setze $u(x) = x^4 - 4$ und $v(x) = x^3 + 1$. 4. Berechne die Ableitungen: $$u'(x) = 4x^3$$ $$v'(x) = 3x^2$$ 5. Wende die Produktregel an: $$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 4x^3 (x^3 + 1) + (x^4 - 4) 3x^2$$ 6. Multipliziere aus: $$4x^3 \cdot x^3 = 4x^6$$ $$4x^3 \cdot 1 = 4x^3$$ $$3x^2 \cdot x^4 = 3x^6$$ $$3x^2 \cdot (-4) = -12x^2$$ 7. Fasse zusammen: $$f'(x) = 4x^6 + 4x^3 + 3x^6 - 12x^2 = (4x^6 + 3x^6) + 4x^3 - 12x^2 = 7x^6 + 4x^3 - 12x^2$$ 8. Endergebnis: $$\boxed{f'(x) = 7x^6 + 4x^3 - 12x^2}$$