1. **Énoncé du problème :** Nous avons un programme de calcul qui prend un nombre choisi $x$, puis effectue les opérations suivantes : multiplier par 4, ajouter 8, puis multiplier le résultat par 2. 2. **Formule du programme :** L'expression finale est donnée par $$A = 2(4x + 8)$$ 3. **Calcul du résultat pour $x = -1$ :** $$A = 2(4 \times (-1) + 8) = 2(-4 + 8) = 2 \times 4 = 8$$ 4. **Trouver $x$ si le résultat est 30 :** On a $$30 = 2(4x + 8)$$ Divisons les deux côtés par 2 : $$\cancel{2} \times (4x + 8) = \cancel{2} \times 15 \Rightarrow 4x + 8 = 15$$ Soustrayons 8 des deux côtés : $$4x = 15 - 8 = 7$$ Divisons par 4 : $$x = \frac{7}{4} = 1.75$$ 5. **Prouver que $A$ et $B$ sont égales pour tout $x$ :** On a $$A = 2(4x + 8) = 8x + 16$$ Et $$B = (4 + x)^2 + x^2 = (x + 4)^2 + x^2 = (x^2 + 8x + 16) + x^2 = 2x^2 + 8x + 16$$ Les expressions ne sont pas égales car $A$ est linéaire en $x$ et $B$ est quadratique. Il y a une erreur dans l'énoncé ou la question. 6. **Résoudre l'inéquation $3x - 2 < 6x + 1$ :** Soustrayons $3x$ des deux côtés : $$-2 < 3x + 1$$ Soustrayons 1 : $$-3 < 3x$$ Divisons par 3 : $$-1 < x$$ Donc $$x > -1$$ 7. **Notation scientifique de $a \times b$ avec $a = 6.75 \times 10^{-17}$ et $b = -2.4 \times 10^{19}$ :** $$a \times b = 6.75 \times (-2.4) \times 10^{-17 + 19} = -16.2 \times 10^{2}$$ On réécrit $-16.2$ comme $-1.62 \times 10^{1}$ : $$a \times b = -1.62 \times 10^{1 + 2} = -1.62 \times 10^{3}$$ 8. **Développer l'expression $(x - 2)(-3x + 1) + 1$ :** $$= x \times (-3x) + x \times 1 - 2 \times (-3x) - 2 \times 1 + 1$$ $$= -3x^2 + x + 6x - 2 + 1$$ $$= -3x^2 + 7x - 1$$