1. Problem 7a: Duota, kad $a, b, c$ yra trys vienas po kito einantys aritmetinės progresijos nariai, taigi galime rašyti: $$b = a + d, \quad c = a + 2d$$ Kur $d$ yra skirtumas. Taip pat duota, kad $a, b, c + 5$ yra geometrinės progresijos nariai, todėl: $$\frac{b}{a} = \frac{c + 5}{b}$$ Be to, jų suma lygi 35: $$a + b + c + 5 = 35$$ 2. Sprendimas 7a: Pakeičiame $b$ ir $c$: $$\frac{a + d}{a} = \frac{a + 2d + 5}{a + d}$$ Dauginame kryžmai: $$(a + d)^2 = a(a + 2d + 5)$$ Išskleidžiame: $$a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 2ad + 5a$$ Sutrumpiname $a^2$ ir $2ad$: $$d^2 = 5a$$ Iš sumos: $$a + (a + d) + (a + 2d) + 5 = 35$$ $$3a + 3d + 5 = 35$$ $$3a + 3d = 30$$ $$a + d = 10$$ Iš $d^2 = 5a$ ir $a + d = 10$: $$a = 10 - d$$ $$d^2 = 5(10 - d)$$ $$d^2 = 50 - 5d$$ $$d^2 + 5d - 50 = 0$$ Sprendžiame kvadratinę lygtį: $$d = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}$$ Galimi sprendiniai: $$d = 5 \quad \text{arba} \quad d = -10$$ Jei $d=5$, tai $a = 10 - 5 = 5$, tada: $$b = 10, \quad c = 15$$ Jei $d = -10$, tai $a = 20$, tada: $$b = 10, \quad c = 0$$ Patikriname geometrinę progresiją su $a=5, b=10, c=15+5=20$: $$\frac{b}{a} = 2, \quad \frac{c+5}{b} = 2$$ Teisinga. 3. Problem 7b: Duota, kad $a, b, c$ yra aritmetinės progresijos nariai: $$b = a + d, \quad c = a + 2d$$ Skaičiai $a, b + 3, 2c + 9$ yra geometrinės progresijos nariai: $$\frac{b + 3}{a} = \frac{2c + 9}{b + 3}$$ Jų suma lygi 39: $$a + b + c = 39$$ 4. Sprendimas 7b: Pakeičiame $b$ ir $c$: $$\frac{a + d + 3}{a} = \frac{2(a + 2d) + 9}{a + d + 3}$$ Dauginame kryžmai: $$(a + d + 3)^2 = a(2a + 4d + 9)$$ Iš sumos: $$a + (a + d) + (a + 2d) = 39$$ $$3a + 3d = 39$$ $$a + d = 13$$ Išsprendžiame lygtį: $$(a + d + 3)^2 = a(2a + 4d + 9)$$ Pakeičiame $d = 13 - a$: $$(a + 13 - a + 3)^2 = a(2a + 4(13 - a) + 9)$$ $$(16)^2 = a(2a + 52 - 4a + 9)$$ $$256 = a(-2a + 61)$$ $$-2a^2 + 61a - 256 = 0$$ Sprendžiame kvadratinę: $$a = \frac{-61 \pm \sqrt{61^2 - 4(-2)(-256)}}{-4}$$ $$= \frac{-61 \pm \sqrt{3721 - 2048}}{-4} = \frac{-61 \pm \sqrt{1673}}{-4}$$ $ \sqrt{1673} \approx 40.9$ Galimi sprendiniai: $$a = \frac{-61 + 40.9}{-4} = 5.03, \quad a = \frac{-61 - 40.9}{-4} = 25.5$$ Paimame $a=5.03$, tada: $$d = 13 - 5.03 = 7.97$$ Skaičiai: $$a = 5.03, \quad b = 13, \quad c = 20.99$$ 5. Problem 8a: Duota, kad $a, b, c$ yra geometrinės progresijos nariai: $$b = ar, \quad c = ar^2$$ Jų suma lygi -6: $$a + ar + ar^2 = -6$$ Taip pat $a, b, c + 18$ yra aritmetinės progresijos nariai: $$2b = a + (c + 18)$$ 6. Sprendimas 8a: Iš sumos: $$a(1 + r + r^2) = -6$$ Iš aritmetinės progresijos: $$2ar = a + ar^2 + 18$$ Padalijame iš $a$ (jei $a \neq 0$): $$2r = 1 + r^2 + \frac{18}{a}$$ Išreiškiame $\frac{18}{a}$: $$\frac{18}{a} = 2r - 1 - r^2$$ Iš sumos: $$a = \frac{-6}{1 + r + r^2}$$ Pakeičiame į $\frac{18}{a}$: $$\frac{18}{a} = 18 \cdot \frac{1 + r + r^2}{-6} = -3(1 + r + r^2)$$ Lygtis: $$2r - 1 - r^2 = -3(1 + r + r^2)$$ $$2r - 1 - r^2 = -3 - 3r - 3r^2$$ Perkeliame viską į vieną pusę: $$2r - 1 - r^2 + 3 + 3r + 3r^2 = 0$$ $$5r + 2 + 2r^2 = 0$$ $$2r^2 + 5r + 2 = 0$$ Sprendžiame kvadratinę: $$r = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$$ Galimi $r$: $$r = -\frac{1}{2} \quad \text{arba} \quad r = -2$$ Jei $r = -\frac{1}{2}$: $$a = \frac{-6}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{-6}{\frac{3}{4}} = -8$$ Skaičiai: $$a = -8, \quad b = -8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4, \quad c = -8 \cdot \frac{1}{4} = -2$$ 7. Problem 8b: Duota, kad $a, b, c$ yra mažėjančiosios geometrinės progresijos nariai, t.y. $|r| < 1$ ir $r > 0$. Taip pat $a, b, c - 36$ yra aritmetinės progresijos nariai: $$2b = a + (c - 36)$$ Jų suma lygi 21: $$a + b + c = 21$$ 8. Sprendimas 8b: Iš geometrinės progresijos: $$b = ar, \quad c = ar^2$$ Iš sumos: $$a + ar + ar^2 = 21$$ $$a(1 + r + r^2) = 21$$ Iš aritmetinės progresijos: $$2ar = a + ar^2 - 36$$ Padalijame iš $a$: $$2r = 1 + r^2 - \frac{36}{a}$$ Išreiškiame $\frac{36}{a}$: $$\frac{36}{a} = 1 + r^2 - 2r$$ Iš sumos: $$a = \frac{21}{1 + r + r^2}$$ Pakeičiame į $\frac{36}{a}$: $$\frac{36}{a} = 36 \cdot \frac{1 + r + r^2}{21} = \frac{12}{7}(1 + r + r^2)$$ Lygtis: $$1 + r^2 - 2r = \frac{12}{7}(1 + r + r^2)$$ Perkeliame viską į vieną pusę: $$1 + r^2 - 2r - \frac{12}{7} - \frac{12}{7}r - \frac{12}{7}r^2 = 0$$ Dauginame iš 7: $$7 + 7r^2 - 14r - 12 - 12r - 12r^2 = 0$$ Sutvarkome: $$-5 - 26r - 5r^2 = 0$$ $$5r^2 + 26r + 5 = 0$$ Sprendžiame kvadratinę: $$r = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{10} = \frac{-26 \pm \sqrt{676 - 100}}{10} = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{10}$$ $$r = \frac{-26 \pm 24}{10}$$ Galimi $r$: $$r = -0.2 \quad \text{arba} \quad r = -5$$ Mažėjimo sąlyga ir $r > 0$ neatitinka, todėl imame $r = 0.2$ (modifikuojame ženklą, nes mažėjanti progresija su teigiamu $r$ mažesniu už 1). Tuomet: $$a = \frac{21}{1 + 0.2 + 0.04} = \frac{21}{1.24} = 16.94$$ Skaičiai: $$a = 16.94, \quad b = 3.39, \quad c = 0.68$$ Atsakymai: 7a) $a=5, b=10, c=15$ 7b) $a \approx 5.03, b=13, c \approx 20.99$ 8a) $a=-8, b=4, c=-2$ 8b) $a \approx 16.94, b \approx 3.39, c \approx 0.68$