1. **Énoncé du problème :** Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n \geq 2$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2 = f$ (c'est un projecteur). 2. **Rappel des définitions et propriétés importantes :** - $\ker(f)$ est le noyau de $f$, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs $v$ tels que $f(v) = 0$. - $\operatorname{Im}(f)$ est l'image de $f$, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs $f(v)$ pour $v \in E$. - $\operatorname{Id}_E$ est l'application identité sur $E$. - Un projecteur vérifie $f^2 = f$. --- ### 1) a) Montrer que $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$ 3. **Preuve :** - Soit $x \in \ker(f)$, alors $f(x) = 0$. - Calculons $(\operatorname{Id}_E - f)(x) = x - f(x) = x - 0 = x$. - Donc $x \in \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$ car $x$ est image de $x$ par $\operatorname{Id}_E - f$. 4. Réciproquement, soit $y \in \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$, donc il existe $z \in E$ tel que $y = (\operatorname{Id}_E - f)(z) = z - f(z)$. - Appliquons $f$ à $y$ : $$ f(y) = f(z - f(z)) = f(z) - f^2(z) = f(z) - f(z) = 0 $$ - Donc $y \in \ker(f)$. 5. Conclusion : $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$. --- ### 1) b) Montrer que $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$ 6. Soit $x \in \operatorname{Im}(f)$, alors il existe $z$ tel que $x = f(z)$. - Calculons $(\operatorname{Id}_E - f)(x) = x - f(x) = f(z) - f(f(z)) = f(z) - f^2(z) = f(z) - f(z) = 0$. - Donc $x \in \ker(\operatorname{Id}_E - f)$. 7. Réciproquement, soit $y \in \ker(\operatorname{Id}_E - f)$, alors $(\operatorname{Id}_E - f)(y) = 0$ donc $y = f(y)$. - Donc $y$ est dans l'image de $f$. 8. Conclusion : $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$. --- ### 2) a) Montrer que $E = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f)$ 9. D'après 1) a) et b), on a : $$ \ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f), \quad \operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f) $$ - Comme $\operatorname{Id}_E - f$ est aussi un projecteur, on sait que $E$ se décompose en somme directe de son noyau et de son image. - Donc : $$ E = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f) $$ --- ### 2) b) Valeurs propres possibles de $f$ 10. Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$ avec vecteur propre $v \neq 0$, donc $f(v) = \lambda v$. - Appliquons $f$ deux fois : $$ f^2(v) = f(f(v)) = f(\lambda v) = \lambda f(v) = \lambda^2 v $$ - Or $f^2 = f$, donc $f^2(v) = f(v)$, donc $$ \lambda^2 v = \lambda v \implies (\lambda^2 - \lambda) v = 0 $$ - Comme $v \neq 0$, on a $\lambda^2 - \lambda = 0$ donc $$ \lambda(\lambda - 1) = 0 $$ - Donc $\lambda = 0$ ou $\lambda = 1$. 11. Si $f \neq 0$ et $f \neq \operatorname{Id}_E$, alors $f$ n'est ni l'application nulle ni l'identité, donc les seules valeurs propres possibles sont $0$ et $1$. --- ### 3) a) Rang et trace de $f$ si $\dim(\operatorname{Im}(f)) = p$ avec $1 \leq p \leq n-1$ 12. Le rang de $f$ est la dimension de son image : $$ \operatorname{rang}(f) = \dim(\operatorname{Im}(f)) = p $$ 13. La trace de $f$ est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité. - Les valeurs propres sont $0$ et $1$. - La dimension de $\operatorname{Im}(f)$ correspond à la multiplicité de la valeur propre $1$. - La dimension de $\ker(f)$ correspond à la multiplicité de la valeur propre $0$. - Donc $$ \operatorname{tr}(f) = p \times 1 + (n - p) \times 0 = p $$ --- ### 3) b) Diagonalisation et matrice dans une base adaptée 14. Comme $E = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f)$, on peut choisir une base adaptée : - Une base de $\ker(f)$ de dimension $n-p$. - Une base de $\operatorname{Im}(f)$ de dimension $p$. 15. Dans cette base, la matrice de $f$ est diagonale avec $p$ fois $1$ sur la diagonale et $n-p$ fois $0$. - Donc $$ \text{Matrice de } f = \begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 0 \\ & & & 1 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & 1 \end{pmatrix} $$ - Ce qui montre que $f$ est diagonalisable. --- **Réponse finale :** - $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$ - $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$ - $E = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f)$ - Les valeurs propres possibles de $f$ sont $0$ et $1$. - $\operatorname{rang}(f) = p$, $\operatorname{tr}(f) = p$. - $f$ est diagonalisable avec matrice diagonale composée de $p$ fois $1$ et $n-p$ fois $0$ dans une base adaptée.