1. **Énoncé du problème :** Écrire sous la forme d'une puissance d'exposant positif les expressions suivantes : $$A = (-3)^5 \times (-3)^{-9}$$ $$B = \left(\left((-\frac{1}{2})^2\right)^{-2}\right)^2$$ $$C = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-9} \times \frac{3}{4}$$ 2. **Rappel des règles importantes :** - Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ - Pour une puissance d'une puissance, on multiplie les exposants : $$\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}$$ - Pour une fraction élevée à une puissance, on élève numérateur et dénominateur à cette puissance. 3. **Calcul de A :** $$A = (-3)^5 \times (-3)^{-9} = (-3)^{5 + (-9)} = (-3)^{-4}$$ Pour avoir un exposant positif, on utilise : $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ Donc : $$A = \frac{1}{(-3)^4}$$ 4. **Calcul de B :** D'abord calculons l'exposant intérieur : $$\left((-\frac{1}{2})^2\right)^{-2} = (-\frac{1}{2})^{2 \times (-2)} = (-\frac{1}{2})^{-4}$$ Puis on élève au carré : $$B = \left((-\frac{1}{2})^{-4}\right)^2 = (-\frac{1}{2})^{-4 \times 2} = (-\frac{1}{2})^{-8}$$ Exposant négatif, on inverse la base : $$B = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8}$$ 5. **Calcul de C :** On regroupe les puissances de même base : $$\left(\frac{4}{3}\right)^2 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2 + (-9)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-7}$$ Donc : $$C = \left(\frac{4}{3}\right)^{-7} \times \frac{3}{4}$$ On écrit $\frac{3}{4}$ comme $\left(\frac{3}{4}\right)^1$ et on remarque que $\frac{3}{4} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}$, donc : $$C = \left(\frac{4}{3}\right)^{-7} \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-8}$$ Exposant négatif, on inverse la base : $$C = \frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^8}$$ **Réponses finales :** $$A = \frac{1}{(-3)^4}$$ $$B = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8}$$ $$C = \frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^8}$$