1. Calculer $(-\sqrt{3})^4$. On sait que $(-\sqrt{3})^4 = ((-\sqrt{3})^2)^2$. Calculons $(-\sqrt{3})^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{3})^2 = 1 \times 3 = 3$. Donc $(-\sqrt{3})^4 = 3^2 = 9$. 2. Exprimer $a = b^{mn}$. C'est une expression générale indiquant que $a$ est égal à $b$ élevé à la puissance $m$ multipliée par $n$. 3. Calculer $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} + \left(\frac{4}{22}\right)^{-1}$. Rappel : $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$. Calculons chaque terme : $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$. $\left(\frac{4}{22}\right)^{-1} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$. Addition : $\frac{27}{8} + \frac{11}{2} = \frac{27}{8} + \frac{44}{8} = \frac{71}{8}$. 4. Simplifier $\frac{x^n \times x^m}{x^{n+m}}$. Rappel : $x^a \times x^b = x^{a+b}$. Donc le numérateur est $x^{n+m}$. On a donc $\frac{x^{n+m}}{x^{n+m}} = 1$ (pour $x \neq 0$). 5. Simplifier $\frac{x^7 + x^8 + x^9 + x^{10}}{x^7 + x^9}$. Factorisons le numérateur : $x^7 + x^8 + x^9 + x^{10} = x^7(1 + x + x^2 + x^3)$. Factorisons le dénominateur : $x^7 + x^9 = x^7(1 + x^2)$. Donc l'expression devient : $\frac{x^7(1 + x + x^2 + x^3)}{x^7(1 + x^2)} = \frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 + x^2}$. On ne peut pas simplifier davantage sans valeurs spécifiques de $x$. Réponses finales : 1. $9$ 2. $a = b^{mn}$ (expression donnée) 3. $\frac{71}{8}$ 4. $1$ 5. $\frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 + x^2}$