1. **Énoncé du problème :** On doit écrire sous forme de puissance les expressions suivantes, déterminer une valeur de $n$ pour que $123.4567 \times 10^n$ soit un entier naturel, comparer deux puissances, et écrire un nombre sous forme scientifique. --- 2. **Formules et règles importantes :** - Pour les puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$. - Pour les puissances d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$. - Pour les puissances négatives : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. - Pour comparer des puissances, exprimer avec la même base si possible. - Pour écrire un nombre en écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier. --- 3. **Calculs :** **a. Écrire sous forme d’une puissance :** - $A = \left(\frac{2}{3}\right)^{2004} \times \left(\frac{9}{4}\right)^{1002}$ Remarquons que $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, donc $$A = \left(\frac{2}{3}\right)^{2004} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2 \times 1002} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2004} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2004}$$ Or $\left(\frac{3}{2}\right)^{2004} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2004}$, donc $$A = \left(\frac{2}{3}\right)^{2004} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{-2004} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2004 - 2004} = \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$$ - $B = \left(\frac{2}{7}\right)^{-2} \times \left(\frac{7}{2}\right)^{-5} \times \left(\frac{2}{7}\right)^7$ Remarquons que $\left(\frac{7}{2}\right)^{-5} = \left(\frac{2}{7}\right)^5$, donc $$B = \left(\frac{2}{7}\right)^{-2} \times \left(\frac{2}{7}\right)^5 \times \left(\frac{2}{7}\right)^7 = \left(\frac{2}{7}\right)^{-2 + 5 + 7} = \left(\frac{2}{7}\right)^{10}$$ - $C = \frac{64 \times 28^{-3}}{0.49}$ Écrivons $64 = 2^6$, $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$, et $0.49 = \frac{49}{100} = \left(\frac{7}{10}\right)^2$. Donc $$C = \frac{2^6 \times (2^2 \times 7)^{-3}}{\left(\frac{7}{10}\right)^2} = \frac{2^6 \times 2^{-6} \times 7^{-3}}{7^2 \times 10^{-2}} = \frac{2^{6-6} \times 7^{-3}}{7^2 \times 10^{-2}} = \frac{7^{-3}}{7^2 \times 10^{-2}} = 7^{-3 - 2} \times 10^2 = 7^{-5} \times 10^2$$ --- **b. Déterminer $n$ pour que $123.4567 \times 10^n$ soit un entier naturel :** On veut que $123.4567 \times 10^n$ soit entier, donc multiplier par $10^n$ doit éliminer les décimales. $123.4567$ a 4 chiffres après la virgule, donc $n \geq 4$. Ainsi, $n = 4$ est la plus petite valeur pour que le produit soit un entier naturel. --- **c. Comparer $a = 625^{342}$ et $b = 125^{456}$ :** Écrivons les bases en puissance de 5 : $625 = 5^4$, $125 = 5^3$. Donc $$a = (5^4)^{342} = 5^{4 \times 342} = 5^{1368}$$ $$b = (5^3)^{456} = 5^{3 \times 456} = 5^{1368}$$ Les deux sont égaux : $a = b$. --- **d. Écrire sous forme scientifique :** $$e = 342 \times 10^{-2} - 43 \times 10^{-1} - 167 \times 10^{-3}$$ Convertissons tous en $10^{-3}$ : $$342 \times 10^{-2} = 3420 \times 10^{-3}$$ $$43 \times 10^{-1} = 430 \times 10^{-3}$$ Donc $$e = 3420 \times 10^{-3} - 430 \times 10^{-3} - 167 \times 10^{-3} = (3420 - 430 - 167) \times 10^{-3} = 2823 \times 10^{-3}$$ Écriture scientifique : $$e = 2.823 \times 10^{0}$$ --- **Réponses finales :** - $A = 1$ - $B = \left(\frac{2}{7}\right)^{10}$ - $C = 7^{-5} \times 10^{2}$ - $n = 4$ - $a = b$ - $e = 2.823 \times 10^{0}$