1. **Énoncé du problème :** Calculer les inverses et puissances des nombres donnés, puis écrire une expression sous forme d'une puissance. 2. **Rappel des règles importantes :** - L'inverse d'un nombre $a$ est $a^{-1} = \frac{1}{a}$. - Pour une puissance négative, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. - Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : $a^m \times a^n = a^{m+n}$. --- ### Partie 1 : Calcul des inverses 1. Calcul de $\left(15\right)^{-1}$ : $$\left(15\right)^{-1} = \frac{1}{15}$$ 2. Calcul de $\left(\frac{11}{4}\right)^{-1}$ : $$\left(\frac{11}{4}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}$$ 3. Calcul de $\left(-\frac{11}{5}\right)^{-1}$ : $$\left(-\frac{11}{5}\right)^{-1} = \frac{1}{-\frac{11}{5}} = -\frac{5}{11}$$ --- ### Partie 2 : Calcul des puissances 1. Calcul de $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$ : $$\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{1}{\frac{8}{27}} = \frac{27}{8}$$ 2. Calcul de $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ : $$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$$ --- ### Partie 3 : Écriture sous forme d'une puissance Expression donnée : $$A = \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$$ On peut écrire $\left(\frac{4}{5}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$, donc : $$A = \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \frac{5}{4} = \frac{1^4}{5^4} \times \frac{5}{4} = \frac{1}{5^4} \times \frac{5}{4}$$ Simplifions $\frac{1}{5^4} \times 5$ : $$\frac{1}{\cancel{5^4}} \times \cancel{5} = \frac{1}{5^{4-1}} = \frac{1}{5^3}$$ Donc : $$A = \frac{1}{5^3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4 \times 5^3} = \frac{1}{4 \times 125} = \frac{1}{500}$$ Mais pour écrire sous forme d'une puissance, on garde la forme : $$A = \frac{1}{4} \times 5^{-3} = 4^{-1} \times 5^{-3}$$ Ou encore : $$A = \left(4 \times 5^3\right)^{-1}$$ --- **Réponses finales :** - $\left(15\right)^{-1} = \frac{1}{15}$ - $\left(\frac{11}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{11}$ - $\left(-\frac{11}{5}\right)^{-1} = -\frac{5}{11}$ - $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$ - $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$ - $A = 4^{-1} \times 5^{-3}$ ou $A = \left(4 \times 5^3\right)^{-1}$