1. **Énoncé du problème** : Écrire chaque expression sous forme d'une seule puissance avec base unique. 2. **Calcul de A** : $$A = 10^6 \times \sqrt{2}^2 \times (2^4)^{-7}$$ On sait que $\sqrt{2}^2 = 2^{\frac{1}{2} \times 2} = 2^1 = 2$. Donc, $$A = 10^6 \times 2 \times 2^{-28} = 10^6 \times 2^{1 - 28} = 10^6 \times 2^{-27}$$ 3. **Calcul de B** : $$B = \frac{a^{-8} \times a^{-12}}{(a^{-4})^5 \times (a^{-5})^{-1}}$$ Simplifions le numérateur : $$a^{-8} \times a^{-12} = a^{-8 + (-12)} = a^{-20}$$ Simplifions le dénominateur : $$(a^{-4})^5 = a^{-4 \times 5} = a^{-20}$$ $$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \times (-1)} = a^5$$ Donc, $$\text{dénominateur} = a^{-20} \times a^5 = a^{-20 + 5} = a^{-15}$$ Ainsi, $$B = \frac{a^{-20}}{a^{-15}} = a^{-20 - (-15)} = a^{-5}$$ 4. **Calcul de C** : $$C = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^6 \times \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^5 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{-8}$$ Écrivons les racines en puissances : $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$$ Donc, $$C = \left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{3}\right)^6 \times \left(\frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}\right)^5 \times \left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}\right)^{-8}$$ Développons chaque terme : $$= \frac{2^{3}}{3^{6}} \times \frac{3^{5}}{7^{\frac{5}{2}}} \times \frac{7^{4}}{2^{4}}$$ Car $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ et $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Simplifions : $$= 2^{3} \times 2^{-4} \times 3^{-6} \times 3^{5} \times 7^{-\frac{5}{2}} \times 7^{4} = 2^{-1} \times 3^{-1} \times 7^{\frac{3}{2}}$$ Donc, $$C = \frac{7^{\frac{3}{2}}}{2 \times 3} = \frac{7^{\frac{3}{2}}}{6}$$ 5. **Calcul de D** : $$D = 13^{-8} \times \sqrt[3]{13} \times \sqrt{13}^7 \times 13^{-15}$$ Écrivons les racines en puissances : $$\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt{13}^7 = (13^{\frac{1}{2}})^7 = 13^{\frac{7}{2}}$$ Donc, $$D = 13^{-8} \times 13^{\frac{1}{3}} \times 13^{\frac{7}{2}} \times 13^{-15} = 13^{-8 + \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 15}$$ Calculons l'exposant : $$-8 - 15 = -23$$ $$\frac{1}{3} + \frac{7}{2} = \frac{2}{6} + \frac{21}{6} = \frac{23}{6}$$ Donc, $$-23 + \frac{23}{6} = \frac{-138 + 23}{6} = \frac{-115}{6}$$ Ainsi, $$D = 13^{-\frac{115}{6}}$$ **Réponses finales :** $$A = 10^6 \times 2^{-27}$$ $$B = a^{-5}$$ $$C = \frac{7^{\frac{3}{2}}}{6}$$ $$D = 13^{-\frac{115}{6}}$$