1. Problema: Găsiți numărul natural $n$ pentru care $$8^n + 8^{n+1} = 36 \cdot 2^{2011}.$$ 2. Formula și reguli importante: - Putem scrie $8^{n+1} = 8^n \cdot 8$. - Știm că $8 = 2^3$, deci $8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$. 3. Rescriem ecuația: $$8^n + 8^{n+1} = 8^n + 8^n \cdot 8 = 8^n (1 + 8) = 8^n \cdot 9.$$ 4. Înlocuim $8^n$ cu $2^{3n}$: $$9 \cdot 2^{3n} = 36 \cdot 2^{2011}.$$ 5. Împărțim ambele părți la 9: $$2^{3n} = 4 \cdot 2^{2011}.$$ 6. Scriem 4 ca putere a lui 2: $$4 = 2^2,$$ deci $$2^{3n} = 2^2 \cdot 2^{2011} = 2^{2013}.$$ 7. Egalăm exponenții: $$3n = 2013.$$ 8. Rezolvăm pentru $n$: $$n = \frac{2013}{3} = 671.$$ Răspunsul corect este c) 671.