1. **Problemstellung:** Wir sollen für welche ganzen Zahlen $x, y$ gilt: $$(9 - 4\sqrt{2})^2 = x + y\sqrt{2}.$$\n\n2. **Formel und Regeln:** Um den Ausdruck zu quadrieren, verwenden wir die binomische Formel $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$\n\n3. **Zwischenschritte:** Setze $a = 9$ und $b = 4\sqrt{2}$. Dann gilt:\n$$ (9 - 4\sqrt{2})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2. $$\n\n4. **Berechnung der einzelnen Terme:**\n$$ 9^2 = 81, $$\n$$ -2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{2} = -72\sqrt{2}, $$\n$$ (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32. $$\n\n5. **Zusammenfassung:**\n$$ (9 - 4\sqrt{2})^2 = 81 - 72\sqrt{2} + 32 = (81 + 32) - 72\sqrt{2} = 113 - 72\sqrt{2}. $$\n\n6. **Ergebnis:**\nDamit ist $$x = 113$$ und $$y = -72$$ die gesuchte Lösung für ganze Zahlen $x$ und $y$.