1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction quadratique $$f(x) = (m+2)x^2 - 2(m+1)x + m - 1$$ avec $m \neq -2$. On demande de discuter les solutions de l'équation $f(x)=0$, analyser les signes de $f(x)$, vérifier l'existence de racines opposées, trouver le sommet $S$, et la condition de tangence avec la droite $y = x - 1$. 2. **Nombre de solutions de $f(x) = 0$ selon $m$ :** Le discriminant est $$ \Delta = (-2(m+1))^2 - 4(m+2)(m-1) = 4(m+1)^2 - 4(m+2)(m-1). $$ Calculons : $$ 4(m+1)^2 - 4[(m+2)(m-1)] = 4[(m+1)^2 - (m^2 + 2m - m - 2)] = 4[(m+1)^2 - (m^2 + m - 2)]. $$ Simplifions l'expression intérieure : $$ (m+1)^2 = m^2 + 2m +1, $$ Donc $$ (m+1)^2 - (m^2 + m - 2) = m^2 + 2m +1 - m^2 - m + 2 = m + 3. $$ Ainsi $$ \Delta = 4(m+3). $$ - Si $m+3 > 0 \Rightarrow m > -3$, alors $\Delta > 0$ et il y a deux solutions réelles distinctes. - Si $m = -3$, alors $\Delta = 0$, une solution double. - Si $m < -3$, alors $\Delta < 0$, pas de solution réelle. 3. **Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $f(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?** La parabole est définie par un coefficient $a = m+2$ devant $x^2$. Pour être toujours négative, il faut que : - $a < 0 \Rightarrow m+2 < 0 \Rightarrow m < -2$ - Le discriminant soit négatif pour qu'elle ne coupe pas l'axe des $x$, donc $m < -3$ (de la question précédente) Alors $f(x)<0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ si et seulement si $m < -3$. 4. **Existe-t-il $m$ tel que l'équation $f(x)=0$ ait deux racines opposées ?** Si $x_1$ est une racine, l'autre est $x_2 = -x_1$. La somme des racines est : $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(m+1)}{m+2}. $$ Or, $$ x_1 + (-x_1) = 0. $$ On a donc $$ \frac{2(m+1)}{m+2} = 0 \Rightarrow m+1=0 \Rightarrow m = -1. $$ Vérifions que ce $m$ donne deux racines réelles : $$ \Delta = 4(m+3) = 4(-1+3) = 8 > 0,$$ donc oui, il y a bien deux racines opposées pour $m=-1$. 5. **Coordonnées du sommet $S$ :** Le sommet pour une parabole $f(x) = ax^2 + bx + c$ est $$ S = \left(-\frac{b}{2a} ; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right). $$ Ici, $$ a = m+2, \quad b = -2(m+1), \quad c = m-1. $$ Donc $$ x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2(m+1)}{2(m+2)} = \frac{m+1}{m+2}. $$ Calculons $y_S = f(x_S)$ : $$ y_S = a x_S^2 + b x_S + c = (m+2)\left(\frac{m+1}{m+2}\right)^2 - 2(m+1)\frac{m+1}{m+2} + (m-1). $$ Simplifions : $$ (m+2)\frac{(m+1)^2}{(m+2)^2} = \frac{(m+1)^2}{m+2}, $$ $$ -2(m+1)\frac{m+1}{m+2} = -\frac{2(m+1)^2}{m+2}. $$ Alors $$ y_S = \frac{(m+1)^2}{m+2} - \frac{2(m+1)^2}{m+2} + m -1 = -\frac{(m+1)^2}{m+2} + m - 1. $$ Développons $$ (m+1)^2 = m^2 + 2m +1,$$ donc $$ y_S = -\frac{m^2 + 2m +1}{m+2} + m -1 = -\frac{m^2+2m+1}{m+2} + \frac{(m-1)(m+2)}{m+2}. $$ Développons le numérateur de la seconde fraction : $$ (m-1)(m+2) = m^2 + 2m - m - 2 = m^2 + m - 2. $$ Ainsi $$ y_S = \frac{-m^2 - 2m - 1 + m^2 + m - 2}{m+2} = \frac{-m - 3}{m+2}. $$ Donc $$ S = \left(\frac{m+1}{m+2} ; \frac{-m - 3}{m+2}\right). $$ 6. **Valeur de $m$ pour que $(d): y = x-1$ soit tangente à $(P)$ :** On cherche $m$ tel que la droite coupe la parabole en un seul point. Posons $$ f(x) = y = x -1. $$ On écrit $$ (m+2)x^2 - 2(m+1) x + m -1 = x -1. $$ Regroupons tout : $$ (m+2)x^2 - 2(m+1)x - x + m -1 + 1 = 0, $$ $$ (m+2)x^2 - (2(m+1) +1)x + m = 0. $$ Donc $$ (m+2)x^2 - (2m + 3)x + m = 0. $$ Discriminant de cette équation pour $x$ : $$ \Delta = (2m + 3)^2 - 4(m+2)m = 4m^2 + 12 m + 9 - 4 m^2 - 8 m = 4 m + 9. $$ Pour tangence, $\Delta = 0$, donc $$ 4 m + 9 = 0 \Rightarrow m = -\frac{9}{4}. $$ **Résumé des réponses :** - Nombre de solutions de $f(x)=0$ selon $m$ dépend de $\Delta=4(m+3)$. - $f(x)<0$ pour tout $x$ si $m < -3$. - Deux racines opposées si $m=-1$. - Le sommet $S = \left(\frac{m+1}{m+2}; \frac{-m-3}{m+2}\right)$. - La droite $y = x - 1$ est tangente à la parabole si $m = -\frac{9}{4}$.