1. مسئله (الف): محاسبه حاصل عبارت $[\pi] + \left[-\frac{1}{4}\right]$. - $[\pi]$ نمایانگر قسمت صحیح عدد پی است که برابر با 3 است. - $\left[-\frac{1}{4}\right]$ قسمت صحیح عدد منفی یک چهارم است که برابر با -1 است. پس: $$[\pi] + \left[-\frac{1}{4}\right] = 3 + (-1) = 2$$ 2. مسئله (ب): یافتن معادله درجه دوم با ریشه‌های $3 + \sqrt{7}$ و $3 - \sqrt{7}$. فرمول معادله درجه دوم با ریشه‌های $\alpha$ و $\beta$: $$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$ - مجموع ریشه‌ها: $$3 + \sqrt{7} + 3 - \sqrt{7} = 6$$ - حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$$ معادله: $$x^2 - 6x + 2 = 0$$ 3. مسئله (ج): اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله $x^2 + 4x - 1 = 0$ باشند، مقدار $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ را بیابید. - مجموع ریشه‌ها: $$\alpha + \beta = -4$$ - حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$\alpha \beta = -1$$ فرمول مورد نظر: $$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$$ برای یافتن $\alpha^2 + \beta^2$ از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-4)^2 - 2(-1) = 16 + 2 = 18$$ پس: $$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{18}{-1} = -18$$