1. Das Problem: Wir wollen eine quadratische Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ bestimmen. 2. Fall 1: Gegeben sind drei Punkte $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$. - Wir setzen die Punkte in die allgemeine Form ein: $$a x_1^2 + b x_1 + c = y_1$$ $$a x_2^2 + b x_2 + c = y_2$$ $$a x_3^2 + b x_3 + c = y_3$$ - Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten $a,b,c$. - Wir lösen das System, z.B. durch Einsetzungsverfahren oder Matrizen. 3. Fall 2: Gegeben ist der Scheitelpunkt $(x_s,y_s)$ und ein weiterer Punkt $(x_n,y_n)$. - Die Scheitelform der Parabel ist: $$f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s$$ - Wir setzen den Normalpunkt ein: $$a(x_n - x_s)^2 + y_s = y_n$$ - Daraus folgt: $$a = \frac{y_n - y_s}{(x_n - x_s)^2}$$ - Damit ist die Funktion vollständig bestimmt. 4. Wichtige Regeln: - Für drei Punkte müssen die $x_i$ verschieden sein. - Für Scheitelpunktform darf $x_n \neq x_s$ sein, sonst ist die Division nicht definiert. 5. Zusammenfassung: - Drei Punkte: Gleichungssystem lösen für $a,b,c$. - Scheitelpunkt + Punkt: $a$ berechnen und Funktion aufschreiben. Das ist die Methode, um eine quadratische Funktion aus den gegebenen Informationen zu erstellen.