1. **Problemstellung:** Löse die quadratische Funktion $f(x)=0,5x^2-4x$ und untersuche sie bezüglich Symmetrie, Achsenschnittpunkten, Extremstellen und Krümmungsverhalten. 2. **Formel und Regeln:** Für quadratische Funktionen gilt die allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$. - Die Nullstellen berechnet man mit der Mitternachtsformel: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ - Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung an, Nullstellen von $f'(x)$ sind Kandidaten für Extremstellen. - Die zweite Ableitung $f''(x)$ gibt Auskunft über die Krümmung und Wendestellen. 3. **Nullstellen berechnen:** $$a=0,5,\quad b=-4,\quad c=0$$ Diskriminante: $$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot0,5\cdot0=16$$ $$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{16}}{2\cdot0,5}=\frac{4\pm4}{1}$$ Nullstellen: $$x_1=\frac{4-4}{1}=0$$ $$x_2=\frac{4+4}{1}=8$$ 4. **Ableitungen:** $$f'(x)=2\cdot0,5x-4=x-4$$ Extremstelle bei $f'(x)=0$: $$x-4=0\Rightarrow x=4$$ 5. **Funktionswert an der Extremstelle:** $$f(4)=0,5\cdot4^2-4\cdot4=0,5\cdot16-16=8-16=-8$$ Also lokales Minimum bei $(4,-8)$. 6. **Zweite Ableitung:** $$f''(x)=2\cdot0,5=1>0$$ Da $f''(x)$ konstant positiv ist, ist die Funktion überall nach oben gekrümmt, es gibt keine Wendestellen. 7. **Symmetrie:** Da $f(x)$ kein reines $x^2$-Glied ohne linearen Term ist, ist die Funktion nicht achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch. 8. **Achsenschnittpunkte:** - $y$-Achsenabschnitt bei $x=0$: $$f(0)=0$$ - $x$-Achsenabschnitte sind die Nullstellen $x=0$ und $x=8$. **Endergebnis:** - Nullstellen: $x=0$ und $x=8$ - Lokales Minimum bei $(4,-8)$ - Funktion ist nach oben geöffnet und überall konvex - Kein Wendepunkt - Kein Symmetriezentrum