1. Problem: Vervollständigen Sie die Tabelle mit quadratischen Funktionen in Scheitelpunktform und allgemeiner Form sowie den Scheitelpunkten. 2. Formel: Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet $$f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s$$, wobei $S(x_s|y_s)$ der Scheitelpunkt ist. Die allgemeine Form lautet $$f(x) = ax^2 + bx + c$$. 3. Wichtige Regeln: - Um von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu gelangen, quadrieren Sie den Klammerausdruck aus und fassen zusammen. - Um den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form zu bestimmen, verwenden Sie $$x_s = -\frac{b}{2a}$$ und $$y_s = f(x_s)$$. 4. Lösung für a): Gegeben: $$f(x) = (x - 2)^2$$ Entwickeln: $$f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2 = x^2 - 4x + 4$$ Scheitelpunkt: $$S(2|0)$$ (aus der Form ablesbar) 5. Lösung für b): Gegeben: $$S(3|4)$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - 3)^2 + 4$$ Allgemeine Form: $$f(x) = (x - 3)^2 + 4 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$$ 6. Lösung für c): Gegeben: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5 = (x - (-3))^2 - 5$$ Allgemeine Form: $$f(x) = x^2 + 6x + 9 - 5 = x^2 + 6x + 4$$ Scheitelpunkt: $$S(-3|-5)$$ 7. Lösung für d): Gegeben: $$x_s = -2.5, y_s = 4.5$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - (-2.5))^2 + 4.5 = (x + 2.5)^2 + 4.5$$ Allgemeine Form: $$f(x) = (x + 2.5)^2 + 4.5 = x^2 + 5x + 6.25 + 4.5 = x^2 + 5x + 10.75$$ 8. Lösung für e): Gegeben: $$f(x) = x^2 + 4x - 5$$ Scheitelpunkt berechnen: $$x_s = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$$ $$y_s = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - (-2))^2 - 9 = (x + 2)^2 - 9$$ 9. Lösung für f): Gegeben: $$x_s = -6, y_s = 5$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - (-6))^2 + 5 = (x + 6)^2 + 5$$ Allgemeine Form: $$f(x) = (x + 6)^2 + 5 = x^2 + 12x + 36 + 5 = x^2 + 12x + 41$$ 10. Lösung für g): Gegeben: $$f(x) = x^2 - 4x + 10$$ Scheitelpunkt berechnen: $$x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_s = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - 2)^2 + 6$$ 11. Lösung für h): Gegeben: $$S(4.5|-6.5)$$ Scheitelpunktform: $$f(x) = (x - 4.5)^2 - 6.5$$ Allgemeine Form: $$f(x) = (x - 4.5)^2 - 6.5 = x^2 - 9x + 20.25 - 6.5 = x^2 - 9x + 13.75$$ Endergebnis: Tabelle ist vervollständigt mit den oben berechneten Formen und Scheitelpunkten.