1. **Problem statement:** Stelle eine Gleichung auf und löse mit quadratischer Ergänzung: Das doppelte Quadrat einer Zahl ist um eins größer als die Differenz aus dem 24-fachen der Zahl und 55. 2. **Formel und Regeln:** Sei die Zahl $x$. Das doppelte Quadrat ist $2x^2$. Die Differenz aus dem 24-fachen der Zahl und 55 ist $24x - 55$. Die Gleichung lautet: $$2x^2 = (24x - 55) + 1$$ 3. **Aufstellen der Gleichung:** $$2x^2 = 24x - 54$$ 4. **Umformen:** $$2x^2 - 24x + 54 = 0$$ 5. **Quadratische Ergänzung:** Teile durch 2: $$\cancel{2}x^2 - \cancel{24}x + \cancel{54} = 0 \Rightarrow x^2 - 12x + 27 = 0$$ 6. **Quadratische Ergänzung durchführen:** $$x^2 - 12x = -27$$ Füge $\left(\frac{12}{2}\right)^2 = 36$ hinzu: $$x^2 - 12x + 36 = -27 + 36$$ $$ (x - 6)^2 = 9$$ 7. **Lösung der Gleichung:** $$x - 6 = \pm 3$$ $$x = 6 \pm 3$$ 8. **Endergebnisse:** $$x_1 = 9, \quad x_2 = 3$$ --- 1. **Problem statement:** Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung mit der Lösungsformel: $$5x^2 + 4x = 6,4$$ 2. **Formel:** Die allgemeine Form ist: $$ax^2 + bx + c = 0$$ Hier: $$5x^2 + 4x - 6.4 = 0$$ 3. **Lösungsformel:** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 4. **Einsetzen:** $$a=5, b=4, c=-6.4$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6.4)}}{2 \cdot 5}$$ $$= \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{10}$$ $$= \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{10}$$ $$= \frac{-4 \pm 12}{10}$$ 5. **Lösungen:** $$x_1 = \frac{-4 + 12}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$$ $$x_2 = \frac{-4 - 12}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6$$ --- 1. **Problem statement:** Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung mit der binomischen Formel: $$x^2 + 6x + 9 = 0$$ 2. **Erkennen der binomischen Formel:** $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 3. **Lösung:** $$ (x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ --- 1. **Problem statement:** Amelie merkt sich zwei positive Zahlen, von denen die zweite um 4 kleiner ist als die erste. Wenn sie beide Zahlen um 3 vergrößert, so ergibt das Produkt der entstehenden Zahlen 96. Berechne die Zahlen. 2. **Variablen:** Sei die erste Zahl $x$, die zweite $x - 4$ (da sie um 4 kleiner ist). 3. **Gleichung aufstellen:** $$ (x + 3)((x - 4) + 3) = 96$$ $$ (x + 3)(x - 1) = 96$$ 4. **Ausmultiplizieren:** $$x^2 - x + 3x - 3 = 96$$ $$x^2 + 2x - 3 = 96$$ 5. **Umformen:** $$x^2 + 2x - 99 = 0$$ 6. **Lösen mit quadratischer Ergänzung:** $$x^2 + 2x = 99$$ Füge $\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$ hinzu: $$x^2 + 2x + 1 = 99 + 1$$ $$(x + 1)^2 = 100$$ 7. **Lösung:** $$x + 1 = \pm 10$$ $$x_1 = 9, \quad x_2 = -11$$ Da $x$ positiv sein soll, gilt $x = 9$. 8. **Zweite Zahl:** $$9 - 4 = 5$$ **Endergebnis:** Die Zahlen sind 9 und 5.