1. **Énoncé du problème :** Nous étudions la fonction $f(x) = \sqrt{x+1}$. 2. **Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ :** La racine carrée est définie pour $x+1 \geq 0$, donc $$x \geq -1$$ Ainsi, $$D_f = [-1, +\infty[ $$ 3. **Étudier la monotonie de $f$ sur $D_f$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$ Pour $x \geq -1$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$. 4. **Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer :** Puisque $f$ est strictement croissante et continue sur $D_f$, elle est bijective de $D_f$ vers son image $J = f(D_f) = [0, +\infty[$. Donc, $f^{-1}$ est définie sur $J$. 5. **Déterminer $f^{-1}$ pour tout $y \in J$ :** Soit $y = f(x) = \sqrt{x+1}$, alors $$y^2 = x + 1 \implies x = y^2 - 1$$ Donc, $$f^{-1}(y) = y^2 - 1, \quad y \in [0, +\infty[ $$ **Réponse finale :** - $D_f = [-1, +\infty[$ - $f$ est strictement croissante sur $D_f$ - $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $[0, +\infty[$ - $f^{-1}(y) = y^2 - 1$