1. **Problema:** Halla las raíces de la ecuación cuadrática por factorización para: 1) $$4x^2 - 49 = 0$$ 2) $$4x^2 - 8 = 0$$ 3) $$5x^2 - 15x = 0$$ 2. **Fórmula y reglas:** Para factorizar, buscamos expresar la ecuación en forma de producto de binomios igual a cero. Las raíces son los valores de $$x$$ que hacen que cada factor sea cero. --- ### a) Factorización **1) $$4x^2 - 49 = 0$$** Esto es una diferencia de cuadrados: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$4x^2 = (2x)^2$$ y $$49 = 7^2$$ Entonces: $$4x^2 - 49 = (2x - 7)(2x + 7) = 0$$ Para hallar las raíces: $$2x - 7 = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$$ $$2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = \frac{-7}{2}$$ **2) $$4x^2 - 8 = 0$$** Sacamos factor común: $$4x^2 - 8 = 4(x^2 - 2) = 0$$ Entonces: $$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$ **3) $$5x^2 - 15x = 0$$** Sacamos factor común: $$5x^2 - 15x = 5x(x - 3) = 0$$ Para hallar las raíces: $$5x = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ --- ### b) Fórmula general La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas $$ax^2 + bx + c = 0$$ es: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ **1) $$x^2 - 7x + 10 = 0$$** Aquí $$a=1$$, $$b=-7$$, $$c=10$$. Calculamos el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$$ Entonces: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Raíces: $$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **2) $$x^2 - 4x + 4 = 0$$** Aquí $$a=1$$, $$b=-4$$, $$c=4$$. Calculamos el discriminante: $$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$$ Entonces: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2$$ Raíz única: $$x = 2$$