1. Planteamos el problema: Calcular $$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \times \sqrt[3]{\frac{30}{50}} + \sqrt[3]{\frac{1}{81}} \times \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \times \sqrt[5]{\frac{16}{5}}$$. 2. Simplificamos cada raíz: - $$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$$ porque $$8=2^3$$ y $$27=3^3$$. - $$\sqrt[3]{\frac{30}{50}} = \sqrt[3]{\frac{30}{50}} = \sqrt[3]{\frac{3 \times 10}{5 \times 10}} = \sqrt[3]{\frac{3}{5}}$$ (simplificamos 10). - $$\sqrt[3]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{\sqrt[3]{81}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^4}} = \frac{1}{3^{4/3}} = 3^{-4/3}$$. - $$\sqrt[4]{\frac{3}{4}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1/4}$$. - $$\sqrt[5]{\frac{16}{5}} = \left(\frac{16}{5}\right)^{1/5} = \left(\frac{2^4}{5}\right)^{1/5} = 2^{4/5} \times 5^{-1/5}$$. 3. Calculamos el primer término: $$\frac{2}{3} \times \sqrt[3]{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{1/3}$$. 4. El segundo término es: $$\sqrt[3]{\frac{1}{81}} \times \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \times \sqrt[5]{\frac{16}{5}} = 3^{-4/3} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{1/4} \times 2^{4/5} \times 5^{-1/5}$$. 5. Por lo tanto, la expresión completa es: $$\frac{2}{3} \left(\frac{3}{5}\right)^{1/3} + 3^{-4/3} \left(\frac{3}{4}\right)^{1/4} 2^{4/5} 5^{-1/5}$$. 6. Esto es la forma simplificada exacta. Para un valor numérico aproximado: - $$\left(\frac{3}{5}\right)^{1/3} \approx 0.8434$$ - Primer término: $$\frac{2}{3} \times 0.8434 \approx 0.5623$$ - $$3^{-4/3} = \frac{1}{3^{4/3}} \approx 0.1600$$ - $$\left(\frac{3}{4}\right)^{1/4} \approx 0.9306$$ - $$2^{4/5} \approx 1.7411$$ - $$5^{-1/5} \approx 0.7248$$ - Segundo término: $$0.1600 \times 0.9306 \times 1.7411 \times 0.7248 \approx 0.1881$$ 7. Resultado final aproximado: $$0.5623 + 0.1881 = 0.7504$$. **Respuesta final:** $$\boxed{0.7504}$$.