1. Resuelve las raíces: **a)** $$\sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{3}$$ 1. Descomponemos los radicandos en factores primos para simplificar: $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 2. Sustituimos en la expresión: $$4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$$ 3. Sumamos y restamos los términos semejantes: $$ (4 - 2 + 1)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$ **Respuesta a)** $$3\sqrt{3}$$ **b)** $$\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{24}$$ 1. Descomponemos en factores primos: $$81 = 3^4$$ $$24 = 2^3 \times 3$$ 2. Simplificamos las raíces cúbicas: $$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{4/3} = 3^{1 + \frac{1}{3}} = 3 \times \sqrt[3]{3}$$ $$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \times 3} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{3} = 2 \times \sqrt[3]{3}$$ 3. Sustituimos y factorizamos: $$3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3} = (3 - 2)\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$$ **Respuesta b)** $$\sqrt[3]{3}$$ 2. Racionaliza y simplifica: **a)** $$\frac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$$ 1. Multiplicamos numerador y denominador por $$\sqrt{3}$$ para racionalizar: $$\frac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{6}$$ 2. Distribuimos $$\sqrt{3}$$ en el numerador: $$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{18}}{6}$$ 3. Simplificamos $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$$: $$\frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{6}$$ **Respuesta a)** $$\frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{6}$$ **b)** $$\frac{3}{1 + \sqrt{3}}$$ 1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $$1 - \sqrt{3}$$: $$\frac{3}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{(1)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{1 - 3}$$ 2. Simplificamos el denominador: $$1 - 3 = -2$$ 3. Escribimos la expresión: $$\frac{3(1 - \sqrt{3})}{-2} = -\frac{3(1 - \sqrt{3})}{2}$$ 4. Distribuimos el 3 en el numerador: $$-\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}$$ **Respuesta b)** $$\frac{3\sqrt{3} - 3}{2}$$ 3. Uso de la definición de logaritmo para obtener $$x$$: **a)** $$\log 1\,000\,000 = x$$ 1. Recordamos que $$\log a = b$$ significa $$10^b = a$$. 2. Entonces: $$10^x = 1\,000\,000$$ 3. Como $$1\,000\,000 = 10^6$$, tenemos: $$10^x = 10^6$$ 4. Por igualdad de potencias con base 10: $$x = 6$$ **Respuesta a)** $$6$$ **b)** $$\log_2 0.5 = -1$$ 1. Por definición: $$2^{-1} = 0.5$$ 2. Esto es cierto porque $$2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$$. **Respuesta b)** La igualdad es correcta, $$x = -1$$. **c)** $$\log (-100) = x$$ 1. El logaritmo de un número negativo no está definido en los números reales. **Respuesta c)** No existe solución real. **d)** $$\log_2 x = 5$$ 1. Por definición: $$2^5 = x$$ 2. Calculamos: $$x = 32$$ **Respuesta d)** $$32$$