1. **Planteamiento del problema:** Calcular para cada función cuadrática las raíces, el vértice, el rango, la ordenada al origen y graficar la parábola. 2. **Fórmula para las raíces:** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Esta fórmula se usa para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$. 3. **Cálculo para la función (a) $2x^2 + x + 1 = 0$:** - Coeficientes: $a=2$, $b=1$, $c=1$ - Discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1 - 8 = -7$$ - Como $\Delta < 0$, no hay raíces reales. - Vértice: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times 2} = -\frac{1}{4}$$ $$y_v = f(x_v) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{7}{8}$$ - Rango: Como $a=2 > 0$, la parábola abre hacia arriba y el rango es $$[y_v, \infty) = \left[\frac{7}{8}, \infty\right)$$ - Ordenada al origen: $f(0) = 1$ 4. **Cálculo para la función (b) $x^2 + 11x + 10 = 0$:** - Coeficientes: $a=1$, $b=11$, $c=10$ - Discriminante: $$\Delta = 11^2 - 4 \times 1 \times 10 = 121 - 40 = 81$$ - Raíces: $$x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \times 1} = \frac{-11 \pm 9}{2}$$ $$x_1 = \frac{-11 + 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-11 - 9}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ - Vértice: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2} = -5.5$$ $$y_v = f(-5.5) = (-5.5)^2 + 11(-5.5) + 10 = 30.25 - 60.5 + 10 = -20.25$$ - Rango: Como $a=1 > 0$, la parábola abre hacia arriba y el rango es $$[-20.25, \infty)$$ - Ordenada al origen: $f(0) = 10$ 5. **Gráficas:** - La función (a) no tiene raíces reales, su vértice está en $(-0.25, 0.875)$ y abre hacia arriba. - La función (b) tiene raíces en $x=-1$ y $x=-10$, vértice en $(-5.5, -20.25)$ y abre hacia arriba.