1. Planteamos el problema: calcular $$m=\sqrt[\frac{200-\pi}{\pi}]{\frac{180}{\pi}}$$ donde la raíz tiene índice $$\frac{200-\pi}{\pi}$$ y el radicando es $$\frac{180}{\pi}$$. 2. Recordemos que la raíz enésima de un número $$a$$ se puede expresar como potencia: $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$. 3. Aplicamos esta propiedad para reescribir $$m$$: $$m = \left(\frac{180}{\pi}\right)^{\frac{1}{\frac{200-\pi}{\pi}}}$$ 4. Simplificamos el exponente usando la propiedad de división de fracciones: $$\frac{1}{\frac{200-\pi}{\pi}} = \frac{\pi}{200-\pi}$$ 5. Entonces: $$m = \left(\frac{180}{\pi}\right)^{\frac{\pi}{200-\pi}}$$ 6. Esta es la forma simplificada y exacta de $$m$$. Si se desea un valor numérico, se puede calcular usando aproximaciones de $$\pi \approx 3.1416$$: - Calculamos el índice: $$\frac{200-\pi}{\pi} \approx \frac{200-3.1416}{3.1416} = \frac{196.8584}{3.1416} \approx 62.66$$ - Por lo tanto, el exponente es aproximadamente: $$\frac{\pi}{200-\pi} \approx \frac{3.1416}{196.8584} \approx 0.01596$$ - Calculamos el radicando: $$\frac{180}{\pi} \approx \frac{180}{3.1416} \approx 57.296$$ - Finalmente: $$m \approx 57.296^{0.01596}$$ 7. Evaluando la potencia: $$m \approx e^{0.01596 \times \ln(57.296)}$$ - Calculamos $$\ln(57.296) \approx 4.048$$ - Entonces: $$m \approx e^{0.01596 \times 4.048} = e^{0.0646} \approx 1.0667$$ Respuesta final: $$m = \left(\frac{180}{\pi}\right)^{\frac{\pi}{200-\pi}} \approx 1.067$$