1. Planteamos el problema: calcular el rango de la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & k & 3 & 2 \\ 1 & 8 - 3k & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ según el parámetro $k$ usando el método de Gauss. 2. Recordemos que el rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Usaremos operaciones elementales para llevar la matriz a forma escalonada y determinar el rango. 3. Empezamos con la matriz original: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & k & 3 & 2 \\ 1 & 8 - 3k & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ 4. Restamos la fila 1 a la fila 2 y a la fila 3 para obtener ceros en la primera columna de esas filas: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ \cancel{1} - \cancel{1} & k - 2 & 3 - 3 & 2 - 1 \\ \cancel{1} - \cancel{1} & (8 - 3k) - 2 & 3 - 3 & -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & k - 2 & 0 & 1 \\ 0 & 6 - 3k & 0 & -3 \end{pmatrix}$$ 5. Ahora, trabajamos con las filas 2 y 3 para obtener ceros en la segunda columna de la fila 3. Multiplicamos la fila 2 por 3 y la fila 3 por $k-2$ y restamos: $$3 \times \text{fila 2} = (0, 3(k-2), 0, 3)$$ $$ (k-2) \times \text{fila 3} = (0, (k-2)(6 - 3k), 0, -3(k-2))$$ 6. Restamos: $$ (k-2)(6 - 3k) - 3(k-2) = (k-2)(6 - 3k - 3) = (k-2)(3 - 3k) = 3(k-2)(1 - k) $$ 7. La fila 3 queda: $$ (0, 3(k-2)(1-k), 0, -3(k-2) - 3) $$ 8. Para que la fila 3 sea cero, necesitamos que todos sus elementos sean cero, en particular: $$3(k-2)(1-k) = 0$$ 9. Esto ocurre si: $$k - 2 = 0 \Rightarrow k = 2$$ ó $$1 - k = 0 \Rightarrow k = 1$$ 10. Analizamos los casos: - Si $k \neq 1$ y $k \neq 2$, la fila 3 no es cero y el rango es 3. - Si $k = 1$, la fila 2 es $(0, -1, 0, 1)$ y la fila 3 es $(0, 3(1-2)(1-1), 0, -3(1-2) - 3) = (0, 0, 0, 0)$, rango es 2. - Si $k = 2$, la fila 2 es $(0, 0, 0, 1)$ y la fila 3 es cero, rango es 2. 11. Por lo tanto, el rango de la matriz es: $$\text{rango} = \begin{cases} 3, & k \neq 1, 2 \\ 2, & k = 1 \text{ o } k = 2 \end{cases}$$