1. مسئله: دنباله \(a_n\) خطی است و تابع \(f(x) = k^x\) از نقاط \(A(a_1, a_r)\)، \(A(a_7, a_r)\) و \(B(a_7, a_6)\) عبور می‌کند. باید مقدار \(\frac{a_r}{a_7}\) را پیدا کنیم. 2. چون دنباله خطی است، می‌توان نوشت: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] که \(d\) قدر نسبت دنباله است. 3. نقاط داده شده: - \(A(a_1, a_r)\) یعنی \(f(a_1) = a_r = k^{a_1}\) - \(A(a_7, a_r)\) یعنی \(f(a_7) = a_r = k^{a_7}\) - \(B(a_7, a_6)\) یعنی \(f(a_7) = a_6 = k^{a_7}\) 4. از دو نقطه اول می‌بینیم که \(k^{a_1} = k^{a_7} = a_r\) پس: \[ k^{a_1} = k^{a_7} \implies a_1 = a_7 \] زیرا \(k^x\) تابعی تک‌ریشه است و برای پایه \(k > 0\) و \(k \neq 1\) این نتیجه درست است. 5. اما دنباله خطی با \(a_1 = a_7\) یعنی: \[ a_7 = a_1 + 6d = a_1 \implies 6d = 0 \implies d = 0 \] پس دنباله ثابت است و همه اعضا برابرند. 6. بنابراین: \[ a_r = a_7 \] 7. حاصل کسر: \[ \frac{a_r}{a_7} = \frac{a_7}{a_7} = 1 \] پاسخ نهایی: \[ \boxed{1} \]