1. **نص المشكلة:** لدينا عددان $ a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} $ و $ b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5}} $. المطلوب هو كتابة كل منهما على شكل نسبة مقاماها عدد ناطق، ثم حساب مساحة مستطيل أبعاده $ a $ و $ b $، وأخيرًا حساب محيط المستطيل. 2. **تبسيط الأعداد $a$ و $b$:** - $ a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $. لتكون المقام عددًا ناطقًا، نضرب البسط والمقام في $ \sqrt{5} $: $$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} $$ إذًا: $$ a = 1 + \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{5 + \sqrt{15}}{5} $$ - بنفس الطريقة لـ $ b $: $$ b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 1 - \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{5}{5} - \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{5 - \sqrt{15}}{5} $$ 3. **حساب مساحة المستطيل $ S $:** $$ S = a \times b = \frac{5 + \sqrt{15}}{5} \times \frac{5 - \sqrt{15}}{5} = \frac{(5 + \sqrt{15})(5 - \sqrt{15})}{25} $$ نستخدم فرق المربعات: $$ (5)^2 - (\sqrt{15})^2 = 25 - 15 = 10 $$ إذًا: $$ S = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} $$ 4. **حساب محيط المستطيل $ P $:** المحيط معطى بالعلاقة: $$ P = 2(a + b) = 2 \left( \frac{5 + \sqrt{15}}{5} + \frac{5 - \sqrt{15}}{5} \right) = 2 \times \frac{5 + \sqrt{15} + 5 - \sqrt{15}}{5} = 2 \times \frac{10}{5} = 2 \times 2 = 4 $$ **النتائج النهائية:** \[ a = \frac{5 + \sqrt{15}}{5}, \quad b = \frac{5 - \sqrt{15}}{5}, \quad S = \frac{2}{5}, \quad P = 4 \]