1. **נתון:** הפונקציה הרציונלית $$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2}$$. 2. **תחום ההגדרה:** פונקציה רציונלית אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל-0. לכן, נפתור: $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$. תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-2: $$\text{Domain} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$$. 3. **אסימפטוטה אופקית:** נבדוק את הגבול של הפונקציה כאשר $$x \to \infty$$ ו-$$x \to -\infty$$. מאחר שמעלה המונה הוא דרגה 2 ומעלה המכנה הוא דרגה 1, אין אסימפטוטה אופקית. במקום זאת, נבדוק אסימפטוטה אלכסונית על ידי חילוק פולינומים: $$\frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2} = x - 2 + \frac{1}{x - 2}$$. לכן, משוואת האסימפטוטה האלכסונית היא: $$y = x - 2$$. 4. **נקודות חיתוך עם הצירים:** - חיתוך עם ציר ה-$$y$$: נציב $$x=0$$: $$f(0) = \frac{0^2 - 4\cdot0 + 5}{0 - 2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$$. נקודת החיתוך היא $$(0, -\frac{5}{2})$$. - חיתוך עם ציר ה-$$x$$: נפתור את המשוואה $$f(x) = 0$$: $$\frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2} = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 0$$. נחשב את הדיסקרימיננטה: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$$. אין שורשים ממשיים, לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$$x$$. 5. **נקודות קיצון:** נחשב את הנגזרת של $$f(x)$$: $$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2}$$. נשתמש בכלל המנה: $$f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 1}{(x - 2)^2}$$. נפתח את המונה: $$= \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5)}{(x - 2)^2}$$ $$= \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2}$$ $$= \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$$. נפתור את המונה שווה ל-0: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$. דיסקרימיננטה: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$. שורשים: $$x = \frac{4 \pm 2}{2}$$ כלומר: $$x_1 = 3, \quad x_2 = 1$$. 6. **סוג נקודות הקיצון:** נבדוק את הסימן של $$f'(x)$$ סביב הנקודות: - עבור $$x < 1$$, נבחר $$x=0$$: המונה $$0^2 - 0 + 3 = 3 > 0$$, המכנה חיובי (ריבוע), לכן $$f'(0) > 0$$. - בין $$1$$ ל-$$3$$, נבחר $$x=2$$ (לא בתחום כי אסימפטוטה), נבחר $$x=2.5$$: המונה: $$2.5^2 - 4\cdot2.5 + 3 = 6.25 - 10 + 3 = -0.75 < 0$$, המכנה חיובי, לכן $$f'(2.5) < 0$$. - עבור $$x > 3$$, נבחר $$x=4$$: המונה: $$16 - 16 + 3 = 3 > 0$$, המכנה חיובי, לכן $$f'(4) > 0$$. מסקנה: - ב-$$x=1$$ יש נקודת מקסימום מקומי (מעבר מ-חיובי לשלילי). - ב-$$x=3$$ יש נקודת מינימום מקומי (מעבר מ-שלילי לחיובי). 7. **סיכום:** - תחום ההגדרה: $$x \neq 2$$. - אסימפטוטה אלכסונית: $$y = x - 2$$. - נקודת חיתוך עם ציר ה-$$y$$: $$(0, -\frac{5}{2})$$. - אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$$x$$. - נקודות קיצון: - מקסימום מקומי ב-$$x=1$$. - מינימום מקומי ב-$$x=3$$.