1. Le problème consiste à rendre le dénominateur entier pour les expressions suivantes : - $\frac{2}{\sqrt{11}}$ - $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{5}}$ - $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{12}}{\sqrt{11} + \sqrt{12}}$ 2. Pour $\frac{2}{\sqrt{11}}$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{11}$ pour rationaliser : $$\frac{2}{\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11}}{11}$$ 3. Pour $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{5}}$, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur $1 - \sqrt{5}$ : $$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{5}} \times \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})}$$ Calcul du dénominateur : $$(1)^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$$ Calcul du numérateur : $$1 \times 1 - 1 \times \sqrt{5} + \sqrt{3} \times 1 - \sqrt{3} \times \sqrt{5} = 1 - \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}$$ Donc l'expression devient : $$\frac{1 - \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}}{-4} = -\frac{1 - \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}}{4}$$ 4. Pour $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{12}}{\sqrt{11} + \sqrt{12}}$, le numérateur et le dénominateur sont identiques, donc la fraction vaut 1. Le dénominateur est déjà "entier" dans le sens qu'il n'y a pas de division par une racine seule. Réponse finale : - $\frac{2\sqrt{11}}{11}$ - $-\frac{1 - \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}}{4}$ - $1$