1. Énoncé du problème : Deux cyclistes partent du même endroit avec un intervalle de 15 minutes. Le premier parcourt 9 km en 30 minutes. Le deuxième cycliste a pour équation de distance en fonction du temps $$8y - 180x + 45 = 0$$ où $x$ est le temps en heures et $y$ la distance en km. On cherche le temps nécessaire au deuxième cycliste pour rattraper le premier. 2. Calcul de la vitesse du premier cycliste : Le premier cycliste parcourt 9 km en 30 minutes, soit 0,5 heure. Sa vitesse moyenne est donc $$v_1 = \frac{9}{0.5} = 18\text{ km/h}$$. 3. Équation de la distance du premier cycliste en fonction du temps $x$ (en heures) : $$y_1 = 18x$$ 4. Trouvons l'équation de la distance du deuxième cycliste à partir de l'équation donnée : $$8y - 180x + 45 = 0 \Rightarrow 8y = 180x - 45 \Rightarrow y = \frac{180x - 45}{8} = 22.5x - 5.625$$ 5. Le deuxième cycliste part 15 minutes (0.25 heures) après le premier, donc il commence à $x=0$ quand le premier est à $x=0.25$. 6. Pour que le deuxième cycliste rattrape le premier, leurs distances parcourues doivent être égales, mais en tenant compte du décalage de départ : On cherche $t$ tel que $$y_1(t) = y_2(t - 0.25)$$ avec $t \geq 0.25$. 7. Substituons les expressions : $$18t = 22.5(t - 0.25) - 5.625$$ 8. Développons et simplifions : $$18t = 22.5t - 5.625 - 5.625$$ $$18t = 22.5t - 11.25$$ 9. Regroupons les termes : $$18t - 22.5t = -11.25$$ $$-4.5t = -11.25$$ 10. Résolvons pour $t$ : $$t = \frac{-11.25}{-4.5} = 2.5\text{ heures}$$ 11. Conclusion : Le deuxième cycliste rattrape le premier après 2.5 heures depuis le départ du premier cycliste.