1. **Problema:** Si vuole costruire un recinto ad angolo formato da due lati maggiori di lunghezza $x$ e due lati minori congruenti, usando 60 m di rete. 2. **Formula per il perimetro:** Il perimetro totale è dato dalla somma dei due lati maggiori e dei due lati minori. Se indichiamo con $y$ la lunghezza dei lati minori, allora: $$2x + 2y = 60$$ 3. **Espressione per $y$ in funzione di $x$:** $$2y = 60 - 2x$$ $$y = \frac{60 - 2x}{2} = 30 - x$$ 4. **Area del recinto:** L'area $A$ è data dal prodotto dei lati maggiori e minori: $$A = x \cdot y = x(30 - x) = 30x - x^2$$ 5. **Condizioni per costruire il recinto:** Le lunghezze devono essere positive, quindi: $$x > 0$$ $$y = 30 - x > 0 \implies x < 30$$ Quindi il recinto è costruibile per: $$0 < x < 30$$ 6. **Massimizzazione dell'area:** Per trovare il valore di $x$ che massimizza l'area, deriviamo $A$ rispetto a $x$: $$\frac{dA}{dx} = 30 - 2x$$ Poniamo la derivata uguale a zero per trovare i punti critici: $$30 - 2x = 0$$ $$2x = 30$$ $$x = 15$$ 7. **Verifica del massimo:** La derivata seconda è: $$\frac{d^2A}{dx^2} = -2 < 0$$ Quindi $x=15$ è un massimo. 8. **Area massima:** Sostituendo $x=15$: $$y = 30 - 15 = 15$$ $$A_{max} = 15 \times 15 = 225$$ **Risposte:** a. Il recinto è costruibile per $0 < x < 30$. b. L'area massima si ottiene per $x = 15$ metri, con area $225$ metri quadrati.