1. Problema: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ y es perpendicular a la recta dada por $9x - 5y = 1$. 2. Primero, encontramos la pendiente de la recta dada. La ecuación está en forma general $Ax + By = C$. Para hallar la pendiente $m$, usamos la fórmula $m = -\frac{A}{B}$. 3. Para la recta $9x - 5y = 1$, la pendiente es: $$m_1 = -\frac{9}{-5} = \frac{9}{5}$$ 4. La pendiente de la recta perpendicular es el negativo del recíproco de $m_1$: $$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{9}{5}} = -\frac{5}{9}$$ 5. Usamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ Donde $\left(x_1, y_1\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ y $m = -\frac{5}{9}$. 6. Sustituimos: $$y - \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{5}{9} \left(x - \frac{1}{2}\right)$$ 7. Simplificamos: $$y + \frac{2}{3} = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18}$$ 8. Restamos $\frac{2}{3}$ de ambos lados: $$y = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18} - \frac{2}{3}$$ 9. Simplificamos la resta de fracciones: $$\frac{5}{18} - \frac{2}{3} = \frac{5}{18} - \frac{12}{18} = -\frac{7}{18}$$ 10. Por lo tanto, la ecuación de la recta es: $$y = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}$$ Respuesta final: La ecuación de la recta perpendicular que pasa por $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ es $$y = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}$$.