1. Planteamos el problema: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ y es perpendicular a la recta dada $9x - 5y = 1$. 2. Primero, hallamos la pendiente de la recta dada. La forma general es $Ax + By = C$, y la pendiente $m$ es $-\frac{A}{B}$. 3. Para la recta $9x - 5y = 1$, la pendiente es: $$m_1 = -\frac{9}{-5} = \frac{9}{5}$$ 4. La pendiente de la recta perpendicular, $m_2$, es el negativo del inverso de $m_1$: $$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{9}{5}} = -\frac{5}{9}$$ 5. Usamos la fórmula punto-pendiente para la recta buscada: $$y - y_1 = m_2 (x - x_1)$$ Donde $\left(x_1, y_1\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ y $m_2 = -\frac{5}{9}$. 6. Sustituimos: $$y - \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{5}{9} \left(x - \frac{1}{2}\right)$$ $$y + \frac{2}{3} = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18}$$ 7. Restamos $\frac{2}{3}$ de ambos lados: $$y = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18} - \frac{2}{3}$$ 8. Simplificamos la resta de fracciones: $$\frac{2}{3} = \frac{12}{18}$$ $$y = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18} - \frac{12}{18} = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}$$ 9. La ecuación de la recta perpendicular que pasa por $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ es: $$y = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}$$