1. 問題陳述：假設一個長方形的兩邊分別落在 x 軸和 y 軸上，另一頂點落在直線 $$2x + y = 12$$ 上，求此長方形的最大面積。 2. 設定變數：設長方形在 x 軸上的頂點為 $$(x,0)$$，在 y 軸上的頂點為 $$(0,y)$$，則長方形的面積為 $$A = x \times y$$。 3. 利用直線方程式關係：由直線 $$2x + y = 12$$，可得 $$y = 12 - 2x$$。 4. 將 $$y$$ 代入面積公式： $$A = x \times (12 - 2x) = 12x - 2x^2$$。 5. 求最大面積：面積 $$A$$ 是 $$x$$ 的二次函數，開口向下，最大值出現在頂點。頂點的 $$x$$ 坐標為 $$x = -\frac{b}{2a}$$，其中 $$a = -2$$，$$b = 12$$。計算： $$x = -\frac{12}{2 \times (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$$。 6. 計算對應的 $$y$$ 值： $$y = 12 - 2 \times 3 = 12 - 6 = 6$$。 7. 最大面積為： $$A_{max} = 3 \times 6 = 18$$。答：此長方形的最大面積為 18。