1. **Montrer par récurrence que $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$**. 2. **Initialisation**: Pour $n=1$, $S_1 = 1 \times 2 = 2$. Calculons la formule: $\frac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$. Vrai pour $n=1$. 3. **Hypothèse de récurrence**: Supposons que pour un certain $n$, $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. 4. **Hérédité**: Montrons que $S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$. On a $S_{n+1} = S_n + (n+1)(n+2)$. Par hypothèse, $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Donc, $$S_{n+1} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3} + 1\right) = (n+1)(n+2)\frac{n+3}{3} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}.$$ La propriété est vraie pour $n+1$. 5. **Conclusion**: Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. --- 6. **Montrer par contraposition que $\forall x,y \in \mathbb{R}, x \neq y \Rightarrow (x-1)(y+1) \neq (x+1)(y-1)$**. 7. La contraposée de l'implication est: $$ (x-1)(y+1) = (x+1)(y-1) \Rightarrow x = y. $$ 8. Développons: $$(x-1)(y+1) = xy + x - y -1,$$ $$(x+1)(y-1) = xy - x + y -1.$$ 9. Égalité: $$xy + x - y -1 = xy - x + y -1,$$ Simplifions: $$x - y = -x + y,$$ $$x - y + x - y = 0,$$ $$2x - 2y = 0,$$ $$2(x - y) = 0,$$ $$x - y = 0,$$ $$x = y.$$ 10. Ainsi, la contraposée est vraie, donc l'implication initiale est vraie. --- 11. **Montrer que pour $x \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt{2x+2} - \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$**. 12. Partons de l'équation: $$\sqrt{2x+2} - \sqrt{x} = 1.$$ 13. Isolons $\sqrt{2x+2}$: $$\sqrt{2x+2} = 1 + \sqrt{x}.$$ 14. Élevons au carré des deux côtés: $$2x + 2 = (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x.$$ 15. Simplifions: $$2x + 2 = 1 + 2\sqrt{x} + x,$$ $$2x + 2 - 1 - x = 2\sqrt{x},$$ $$x + 1 = 2\sqrt{x}.$$ 16. Élevons encore au carré: $$(x + 1)^2 = 4x,$$ $$x^2 + 2x + 1 = 4x,$$ $$x^2 + 2x + 1 - 4x = 0,$$ $$x^2 - 2x + 1 = 0,$$ $$(x - 1)^2 = 0,$$ $$x = 1.$$ 17. Vérification: Pour $x=1$, $$\sqrt{2(1)+2} - \sqrt{1} = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1,$$ ce qui est vrai. 18. Conclusion: L'équation est vraie si et seulement si $x=1$.