1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية التراجعية المعرفة بالعلاقة:
$$U_0 = 1, \quad U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2}, \quad n \in \mathbb{N}$$
نريد أن نثبت أنه يمكن كتابة $U_{n+1}$ على الشكل:
$$U_{n+1} = a + \frac{b}{U_n + 2}$$
حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان.
ثم نبرهن أن $1 \leq U_n < 2$ لجميع $n \in \mathbb{N}$.
وأخيرًا ندرس رتابة المتتالية $U_n$ وهل هي متقاربة.
2. **إيجاد $a$ و $b$:**
نبدأ من المعادلة المعطاة:
$$U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2}$$
نريد كتابتها على الشكل:
$$U_{n+1} = a + \frac{b}{U_n + 2}$$
نساوي الطرفين:
$$\frac{4U_n}{U_n + 2} = a + \frac{b}{U_n + 2}$$
نضرب الطرفين في $U_n + 2$:
$$4U_n = a(U_n + 2) + b = aU_n + 2a + b$$
نرتب حسب $U_n$:
$$4U_n = aU_n + (2a + b)$$
بمقارنة معاملات $U_n$ والثوابت:
- معاملات $U_n$: $4 = a$
- الثوابت: $0 = 2a + b$
من الأولى:
$$a = 4$$
من الثانية:
$$0 = 2 \times 4 + b \Rightarrow b = -8$$
إذا:
$$U_{n+1} = 4 - \frac{8}{U_n + 2}$$
3. **برهان أن $1 \leq U_n < 2$ لجميع $n$:**
- **القاعدة:** $U_0 = 1$، إذن $1 \leq U_0 < 2$ صحيح.
- **الفرضية:** نفترض أن $1 \leq U_n < 2$.
- **الخطوة:** نثبت أن $1 \leq U_{n+1} < 2$.
نحسب $U_{n+1}$ باستخدام الشكل الجديد:
$$U_{n+1} = 4 - \frac{8}{U_n + 2}$$
بما أن $1 \leq U_n < 2$، إذن:
$$3 \leq U_n + 2 < 4$$
نحسب حدود الكسر:
$$\frac{8}{4} = 2 \leq \frac{8}{U_n + 2} < \frac{8}{3} \approx 2.6667$$
إذا:
$$4 - 2.6667 < U_{n+1} \leq 4 - 2$$
$$1.3333 < U_{n+1} \leq 2$$
لكن نريد $U_{n+1} < 2$ و $U_{n+1} \geq 1$.
لاحظ أن الحد الأدنى $1.3333 > 1$، إذن:
$$1 < U_{n+1} < 2$$
وبالتالي:
$$1 \leq U_{n+1} < 2$$
البرهان بالاستقراء صحيح.
4. **دراسة رتابة المتتالية $U_n$:**
نحسب الفرق:
$$U_{n+1} - U_n = \frac{4U_n}{U_n + 2} - U_n = \frac{4U_n - U_n(U_n + 2)}{U_n + 2} = \frac{4U_n - U_n^2 - 2U_n}{U_n + 2} = \frac{2U_n - U_n^2}{U_n + 2} = \frac{U_n(2 - U_n)}{U_n + 2}$$
بما أن $1 \leq U_n < 2$ و $U_n + 2 > 0$:
- $U_n > 0$
- $2 - U_n > 0$
إذا:
$$U_{n+1} - U_n > 0$$
أي أن المتتالية متزايدة.
5. **هل المتتالية متقاربة؟**
بما أن المتتالية $U_n$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 2، فهي متقاربة.
نفترض أن الحد النهائي هو $L$، إذن:
$$L = \frac{4L}{L + 2}$$
نضرب في $L + 2$:
$$L(L + 2) = 4L$$
$$L^2 + 2L = 4L$$
$$L^2 - 2L = 0$$
$$L(L - 2) = 0$$
الحلول:
$$L = 0 \quad \text{أو} \quad L = 2$$
لكن $U_n \geq 1$، إذن الحد $L = 0$ غير ممكن.
إذا:
$$\boxed{\lim_{n \to \infty} U_n = 2}$$
---
**النتائج النهائية:**
- $a = 4$, $b = -8$
- $1 \leq U_n < 2$ لجميع $n$
- المتتالية $U_n$ متزايدة ومحدودة، إذن متقاربة
- الحد النهائي للمتتالية هو $2$.
Recursive Sequence
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.