1. **Problemstellung:** Auf einem Schachbrett mit 64 Feldern verdoppelt sich die Anzahl der Reiskörner von Feld zu Feld, beginnend mit 1 Reiskorn auf dem 1. Feld. Gesucht sind: a) Die Summe der Reiskörner von Feld 8 bis Feld 44. b) Das Gewicht der Reiskörner auf dem 48. Feld in Tonnen, wenn ein Reiskorn 20 mg wiegt. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Anzahl der Reiskörner auf dem $n$-ten Feld ist eine geometrische Folge mit dem Anfangswert $a_1=1$ und dem Quotienten $q=2$: $$a_n = 2^{n-1}$$ Die Summe der Reiskörner von Feld $m$ bis Feld $n$ ist: $$S = \sum_{k=m}^n 2^{k-1} = 2^{m-1} + 2^{m} + \cdots + 2^{n-1}$$ Diese Summe kann mit der Formel für die Summe einer geometrischen Reihe berechnet werden: $$S = 2^{m-1} \cdot \frac{2^{n-m+1} - 1}{2 - 1} = 2^{m-1} (2^{n-m+1} - 1)$$ 3. **Berechnung a) Summe der Reiskörner von Feld 8 bis 44:** Setze $m=8$, $n=44$: $$S = 2^{8-1} (2^{44-8+1} - 1) = 2^{7} (2^{37} - 1)$$ Zwischenschritt: $$S = 128 (2^{37} - 1)$$ 4. **Berechnung b) Gewicht der Reiskörner auf dem 48. Feld:** Anzahl Reiskörner auf Feld 48: $$a_{48} = 2^{48-1} = 2^{47}$$ Gewicht eines Reiskorns = 20 mg = 20 \times 10^{-6} g = 20 \times 10^{-9} kg Gesamtgewicht in kg: $$W = 2^{47} \times 20 \times 10^{-9}$$ Umrechnung in Tonnen (1 Tonne = 1000 kg): $$W_{Tonnen} = \frac{W}{1000} = 2^{47} \times 20 \times 10^{-9} \times \frac{1}{1000} = 2^{47} \times 20 \times 10^{-12}$$ 5. **Endergebnisse:** a) Anzahl Reiskörner von Feld 8 bis 44: $$\boxed{S = 128 (2^{37} - 1)}$$ b) Gewicht der Reiskörner auf Feld 48 in Tonnen: $$\boxed{W_{Tonnen} = 2^{47} \times 20 \times 10^{-12}}$$ Diese Ergebnisse zeigen die exakte Anzahl und das Gewicht mit Herleitung und Zwischenschritten.