1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا كثيرة حدود $f(x)$ وباقي قسمة $f(x)$ على $(x-3)$ يساوي 4، وباقي قسمة $f(x)$ على $(x+2)$ يساوي 9. المطلوب هو إيجاد باقي قسمة $f(x)$ على حاصل ضرب $(x-3)(x+2)$. 2. بما أن باقي القسمة على كثيرتي حدود من الدرجة الأولى هو كثير حدود من الدرجة الأقل، فإن باقي القسمة على $(x-3)(x+2)$ سيكون كثير حدود من الدرجة الأولى أو أقل، أي على الصورة: $$R(x) = ax + b$$ 3. نستخدم خاصية باقي القسمة: عند تعويض قيمة الجذر في باقي القسمة، نحصل على باقي القسمة على القاسم. - عند $x=3$: $$R(3) = a(3) + b = 3a + b = 4$$ - عند $x=-2$: $$R(-2) = a(-2) + b = -2a + b = 9$$ 4. لدينا نظام معادلتين: $$\begin{cases} 3a + b = 4 \\ -2a + b = 9 \end{cases}$$ 5. نطرح المعادلتين لإلغاء $b$: $$ (3a + b) - (-2a + b) = 4 - 9 $$ $$ 3a + b - (-2a) - b = -5 $$ $$ 3a + b + 2a - b = -5 $$ $$ 5a = -5 $$ $$ a = \frac{\cancel{ -5 }}{\cancel{5}} = -1 $$ 6. نعوض قيمة $a$ في إحدى المعادلات لإيجاد $b$، مثلاً في $3a + b = 4$: $$ 3(-1) + b = 4 $$ $$ -3 + b = 4 $$ $$ b = 4 + 3 = 7 $$ 7. إذن باقي القسمة هو: $$ R(x) = -1 \cdot x + 7 = -x + 7 $$ النتيجة النهائية: $$\boxed{R(x) = -x + 7}$$