1. Planteamos el problema: La función de rentabilidad es $$R(x)=x^3-9x^2+26x-24$$ donde $x$ es el número de grupos atendidos por semana. Queremos encontrar los intervalos donde $R(x)$ es positiva y donde es negativa. 2. Para esto, primero encontramos las raíces de $R(x)$, es decir, los valores de $x$ donde $R(x)=0$. 3. Buscamos raíces racionales posibles usando el teorema del residuo: posibles raíces son divisores de 24: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24$. 4. Probamos $x=2$: $$R(2)=2^3-9\cdot2^2+26\cdot2-24=8-36+52-24=0$$ Entonces $x=2$ es raíz. 5. Dividimos el polinomio por $(x-2)$ usando división sintética o larga: $$x^3-9x^2+26x-24 \div (x-2) = x^2 -7x +12$$ 6. Factorizamos el trinomio: $$x^2 -7x +12 = (x-3)(x-4)$$ 7. Por lo tanto, las raíces de $R(x)$ son $x=2, 3, 4$. 8. Ahora analizamos el signo de $R(x)$ en los intervalos determinados por estas raíces: $(-\infty, 2)$, $(2,3)$, $(3,4)$, $(4, \infty)$. 9. Tomamos un valor de prueba en cada intervalo: - Para $x=1$ en $(-\infty, 2)$: $$R(1)=1-9+26-24=-6 < 0$$ - Para $x=2.5$ en $(2,3)$: $$R(2.5) = 2.5^3 -9\cdot2.5^2 + 26\cdot2.5 -24 = 15.625 - 56.25 + 65 - 24 = 0.375 > 0$$ - Para $x=3.5$ en $(3,4)$: $$R(3.5) = 42.875 - 110.25 + 91 - 24 = -0.375 < 0$$ - Para $x=5$ en $(4, \infty)$: $$R(5) = 125 - 225 + 130 - 24 = 6 > 0$$ 10. Concluimos: - $R(x)$ es negativa en $(-\infty, 2)$ y $(3,4)$. - $R(x)$ es positiva en $(2,3)$ y $(4, \infty)$. **Respuesta final:** - Rentabilidad positiva: $$x \in (2,3) \cup (4, \infty)$$ - Rentabilidad negativa: $$x \in (-\infty, 2) \cup (3,4)$$