1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la división $$\frac{x^n + x^{n-1} + \cdots + x^2 + x + n^2}{x-1}$$ con residuo 56. Se pide hallar la suma de coeficientes del cociente disminuida en el grado del dividendo. 2. **Recordemos el teorema del residuo:** El residuo de la división de un polinomio $f(x)$ entre $(x - a)$ es $f(a)$. 3. Aplicamos el teorema con $a=1$: $$f(1) = 1^n + 1^{n-1} + \cdots + 1^2 + 1 + n^2 = n + n^2 = 56$$ 4. De la ecuación $n + n^2 = 56$, despejamos: $$n^2 + n - 56 = 0$$ 5. Resolvemos la ecuación cuadrática: $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}$$ 6. Soluciones: - $n = \frac{-1 + 15}{2} = 7$ - $n = \frac{-1 - 15}{2} = -8$ (descartamos porque $n$ es grado y debe ser positivo) 7. Por lo tanto, $n=7$. 8. El dividendo es: $$x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 49$$ 9. La división es entre $(x-1)$, el cociente será un polinomio de grado $6$. 10. La suma de coeficientes de un polinomio $P(x)$ es $P(1)$. 11. Sea $Q(x)$ el cociente, y $R=56$ el residuo, entonces: $$x^7 + x^6 + \cdots + x + 49 = (x-1)Q(x) + 56$$ 12. Evaluamos en $x=1$: $$1^7 + 1^6 + \cdots + 1 + 49 = 7 + 49 = 56$$ 13. La suma de coeficientes del dividendo es $56$. 14. La suma de coeficientes del cociente es $Q(1)$. 15. Evaluamos la expresión en $x=1$: $$f(1) = (1-1)Q(1) + 56 = 56$$ 16. Para hallar $Q(1)$, derivamos la relación: $$f(x) = (x-1)Q(x) + 56$$ 17. Derivando ambos lados: $$f'(x) = Q(x) + (x-1)Q'(x)$$ 18. Evaluamos en $x=1$: $$f'(1) = Q(1) + 0 = Q(1)$$ 19. Calculamos $f'(x)$: $$f(x) = x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 49$$ $$f'(x) = 7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$$ 20. Evaluamos en $x=1$: $$f'(1) = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$$ 21. Por lo tanto, la suma de coeficientes del cociente es $28$. 22. Finalmente, se pide la suma de coeficientes del cociente disminuida en el grado del dividendo, es decir: $$28 - 7 = 21$$ **Respuesta:** A) 21