1. Resolver el primer problema: \[ \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{2}{5} \] 2. Resolver el segundo problema: \[ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} - \frac{5}{4} : \left(- \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{5}{7} = \] 3. Resolver el tercer problema: \[ \left\{ - \frac{1}{4} + 1 \right\}^3 + \left( - \frac{1}{8} \right)^2 \cdot \frac{1}{5} = \] 4. Resolver el cuarto problema: \[ \left\{ \sqrt[3]{9} , \frac{1}{16} + 2 \right\}^2 \cdot \frac{1}{16} = \] 5. Resolver el quinto problema: \[ \left\{ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} \cdot 6^{-1} + (-4)^{-2} \right\} : \sqrt[4]{\frac{17}{64}} \cdot \left(- \frac{3}{5}\right)^2 = \] 6. Resolver el sexto problema: \[ \left[ \frac{1}{4} \left( 2 \frac{1}{7} - \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot 7^7 + \frac{6}{7} \right] \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^2 \cdot (-144) = \] --- ### Paso 1: Resolver el primer problema El problema es: $$ \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{2}{5} $$ Multiplicamos dentro del paréntesis: $$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{2}{15} $$ Entonces: $$ \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{15}\right) \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{4} \cdot -\frac{2}{15} \cdot \frac{2}{5} $$ Multiplicamos numeradores y denominadores: $$ = \frac{1 \cdot (-2) \cdot 2}{4 \cdot 15 \cdot 5} = \frac{-4}{300} $$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por 4: $$ = \frac{\cancel{-4}^{-1}}{\cancel{300}^{75}} = -\frac{1}{75} $$ **Respuesta primer problema:** $-\frac{1}{75}$ --- ### Paso 2: Resolver el segundo problema El problema es: $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} - \frac{5}{4} : \left(- \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{5}{7} $$ Primero calculamos cada parte: $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$ Luego la división: $$ \frac{5}{4} : \left(- \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left(-2\right) = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} $$ Multiplicamos por $\frac{5}{7}$: $$ -\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{7} = -\frac{25}{14} $$ Finalmente restamos: $$ \frac{1}{4} - \left(-\frac{25}{14}\right) = \frac{1}{4} + \frac{25}{14} $$ Buscamos común denominador 28: $$ \frac{1}{4} = \frac{7}{28}, \quad \frac{25}{14} = \frac{50}{28} $$ Sumamos: $$ \frac{7}{28} + \frac{50}{28} = \frac{57}{28} $$ **Respuesta segundo problema:** $\frac{57}{28}$ --- ### Paso 3: Resolver el tercer problema El problema es: $$ \left\{ - \frac{1}{4} + 1 \right\}^3 + \left( - \frac{1}{8} \right)^2 \cdot \frac{1}{5} $$ Calculamos dentro de llaves: $$ -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} $$ Elevamos al cubo: $$ \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64} $$ Calculamos el cuadrado: $$ \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64} $$ Multiplicamos por $\frac{1}{5}$: $$ \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{320} $$ Sumamos: $$ \frac{27}{64} + \frac{1}{320} $$ Buscamos común denominador 320: $$ \frac{27}{64} = \frac{135}{320} $$ Sumamos: $$ \frac{135}{320} + \frac{1}{320} = \frac{136}{320} $$ Simplificamos dividiendo por 8: $$ \frac{136}{320} = \frac{17}{40} $$ **Respuesta tercer problema:** $\frac{17}{40}$ --- ### Paso 4: Resolver el cuarto problema El problema es: $$ \left\{ \sqrt[3]{9} , \frac{1}{16} + 2 \right\}^2 \cdot \frac{1}{16} $$ Interpretamos que la expresión es la suma de los dos términos al cuadrado multiplicado por $\frac{1}{16}$: Calculamos cada término: $$ \sqrt[3]{9} = 9^{1/3} $$ $$ \frac{1}{16} + 2 = \frac{1}{16} + \frac{32}{16} = \frac{33}{16} $$ Sumamos: $$ 9^{1/3} + \frac{33}{16} $$ Elevamos al cuadrado: $$ \left(9^{1/3} + \frac{33}{16}\right)^2 $$ Multiplicamos por $\frac{1}{16}$: $$ \frac{1}{16} \cdot \left(9^{1/3} + \frac{33}{16}\right)^2 $$ Esta expresión es la forma simplificada exacta, ya que $9^{1/3}$ es irracional. **Respuesta cuarto problema:** $\frac{1}{16} \left(9^{1/3} + \frac{33}{16}\right)^2$ --- ### Paso 5: Resolver el quinto problema El problema es: $$ \left\{ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} \cdot 6^{-1} + (-4)^{-2} \right\} : \sqrt[4]{\frac{17}{64}} \cdot \left(- \frac{3}{5}\right)^2 $$ Calculamos cada término: $$ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3^2 = 9 $$ $$ 6^{-1} = \frac{1}{6} $$ Multiplicamos: $$ 9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $$ Calculamos $(-4)^{-2}$: $$ (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16} $$ Sumamos dentro de llaves: $$ \frac{3}{2} + \frac{1}{16} = \frac{24}{16} + \frac{1}{16} = \frac{25}{16} $$ Calculamos la raíz cuarta: $$ \sqrt[4]{\frac{17}{64}} = \frac{\sqrt[4]{17}}{\sqrt[4]{64}} = \frac{\sqrt[4]{17}}{2^{3/2}} = \frac{\sqrt[4]{17}}{2 \sqrt{2}} $$ Calculamos $\left(- \frac{3}{5}\right)^2$: $$ \left(- \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} $$ Entonces la expresión completa es: $$ \frac{25}{16} : \frac{\sqrt[4]{17}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{9}{25} $$ Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa: $$ \frac{25}{16} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{17}} \cdot \frac{9}{25} $$ Simplificamos $25$ en numerador y denominador: $$ \cancel{25} \cdot \frac{1}{16} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{9}{\cancel{25}} = \frac{1}{16} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{17}} $$ Multiplicamos numeradores y denominadores: $$ \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt[4]{17}} = \frac{18 \sqrt{2}}{16 \sqrt[4]{17}} $$ Simplificamos $18/16$ dividiendo por 2: $$ \frac{9 \sqrt{2}}{8 \sqrt[4]{17}} $$ **Respuesta quinto problema:** $\frac{9 \sqrt{2}}{8 \sqrt[4]{17}}$ --- ### Paso 6: Resolver el sexto problema El problema es: $$ \left[ \frac{1}{4} \left( 2 \frac{1}{7} - \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot 7^7 + \frac{6}{7} \right] \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^2 \cdot (-144) $$ Primero convertimos $2 \frac{1}{7}$ a fracción impropia: $$ 2 \frac{1}{7} = \frac{15}{7} $$ Calculamos dentro del paréntesis: $$ \frac{15}{7} - \frac{1}{4} = \frac{60}{28} - \frac{7}{28} = \frac{53}{28} $$ Calculamos el inverso: $$ \left( \frac{53}{28} \right)^{-1} = \frac{28}{53} $$ Multiplicamos por $\frac{1}{4}$: $$ \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{53} = \frac{28}{212} = \frac{7}{53} $$ Calculamos $7^7$: $$ 7^7 = 823543 $$ Multiplicamos: $$ \frac{7}{53} \cdot 823543 = \frac{7 \cdot 823543}{53} = \frac{5764801}{53} $$ Sumamos $\frac{6}{7}$: Para sumar, buscamos común denominador $53 \times 7 = 371$: $$ \frac{5764801}{53} = \frac{5764801 \cdot 7}{371} = \frac{40353607}{371} $$ $$ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 53}{371} = \frac{318}{371} $$ Sumamos: $$ \frac{40353607}{371} + \frac{318}{371} = \frac{40353925}{371} $$ Multiplicamos por $\left( \frac{1}{9} \right)^2 = \frac{1}{81}$: $$ \frac{40353925}{371} \cdot \frac{1}{81} = \frac{40353925}{30051} $$ Multiplicamos por $-144$: $$ \frac{40353925}{30051} \cdot (-144) = -\frac{40353925 \cdot 144}{30051} $$ Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por 3: $$ \frac{40353925 \cdot 144}{30051} = \frac{40353925 \cdot \cancel{144}^{48}}{\cancel{30051}^{10017}} $$ Resultado final: $$ -\frac{40353925 \cdot 48}{10017} = -\frac{1936952400}{10017} $$ **Respuesta sexto problema:** $-\frac{1936952400}{10017}$ --- **Resumen de respuestas:** 1. $-\frac{1}{75}$ 2. $\frac{57}{28}$ 3. $\frac{17}{40}$ 4. $\frac{1}{16} \left(9^{1/3} + \frac{33}{16}\right)^2$ 5. $\frac{9 \sqrt{2}}{8 \sqrt[4]{17}}$ 6. $-\frac{1936952400}{10017}$