1. Planteamos el problema: Resolver para $n$ la ecuación $$ (x^n) \log_x 3 = 3 \log_{\sqrt{3}} x + 2^{1+4 \log_x x} $$ 2. Recordemos algunas propiedades importantes de logaritmos y exponentes: - $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ para cualquier base $c$. - $\log_x x = 1$. - $\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 x}{\frac{1}{2}} = 2 \log_3 x$. - $2^{a+b} = 2^a \cdot 2^b$. 3. Simplificamos cada término: - El lado izquierdo: $$(x^n) \log_x 3 = x^n \cdot \log_x 3$$ - El primer término del lado derecho: $$3 \log_{\sqrt{3}} x = 3 \cdot 2 \log_3 x = 6 \log_3 x$$ - El segundo término del lado derecho: $$2^{1+4 \log_x x} = 2^1 \cdot 2^{4 \log_x x} = 2 \cdot 2^{4 \cdot 1} = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32$$ 4. Ahora la ecuación queda: $$ x^n \log_x 3 = 6 \log_3 x + 32 $$ 5. Usamos el cambio de base para $\log_x 3$: $$ \log_x 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_3 x} $$ 6. Sustituimos en la ecuación: $$ x^n \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 6 \log_3 x + 32 $$ 7. Multiplicamos ambos lados por $\log_3 x$: $$ x^n = 6 (\log_3 x)^2 + 32 \log_3 x $$ 8. Sea $y = \log_3 x$, entonces: $$ x = 3^y $$ $$ x^n = (3^y)^n = 3^{ny} $$ 9. La ecuación queda: $$ 3^{ny} = 6 y^2 + 32 y $$ 10. Recordemos que en el problema se da que $6 = 10 \sqrt{3}$, pero parece ser un dato aislado, no necesario para resolver $n$. 11. Para que la igualdad se mantenga para algún $x$ (y por tanto $y$), igualamos exponentes o buscamos valores específicos. Por ejemplo, si $y=1$: $$ 3^{n \cdot 1} = 6 \cdot 1^2 + 32 \cdot 1 = 6 + 32 = 38 $$ $$ 3^n = 38 $$ 12. Tomamos logaritmo base 3: $$ n = \log_3 38 $$ 13. Por lo tanto, la solución para $n$ es: $$ \boxed{n = \log_3 38} $$ Este valor de $n$ satisface la ecuación para $x$ tal que $\log_3 x = 1$, es decir $x=3$. Si se requiere una solución general, la ecuación es trascendental y depende de $x$, pero para $x=3$ el valor de $n$ es $\log_3 38$.