1. **Planteamiento del problema:** Resolver la función $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, es decir, encontrar los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** Para resolver un polinomio cúbico, podemos intentar encontrar raíces racionales usando el teorema del residuo y el teorema de las raíces racionales, que nos dice que las posibles raíces son divisores del término independiente (en este caso, 3) sobre divisores del coeficiente principal (en este caso, 1). 3. **Posibles raíces racionales:** $\pm1$, $\pm3$. 4. **Evaluamos $f(x)$ en estas posibles raíces:** - $f(1) = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$ (raíz encontrada) 5. **Dividimos el polinomio por $(x - 1)$ para factorizar:** $$ \frac{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}{x - 1} = x^2 - 4x + 3 $$ 6. **Factorizamos el polinomio cuadrático restante:** $$ x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) $$ 7. **Por lo tanto, la factorización completa es:** $$ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 1) = (x - 1)^2 (x - 3) $$ 8. **Las raíces son:** $$ x = 1 \text{ (con multiplicidad 2)}, \quad x = 3 $$ **Respuesta final:** Las soluciones de $f(x) = 0$ son $x = 1$ y $x = 3$.