1. **Énoncé du problème** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : (E1) : $\frac{6x - 2}{3x + 4} = 2$ (E2) : $\sqrt{2}(x + 5) = 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}$ --- 2. **Résolution de (E1)** : - On utilise la propriété que si $\frac{a}{b} = c$ alors $a = bc$ (avec $b \neq 0$). - Multiplier les deux côtés par $3x + 4$ : $$6x - 2 = 2(3x + 4)$$ - Développer le côté droit : $$6x - 2 = 6x + 8$$ - Soustraire $6x$ des deux côtés : $$6x - 2 - 6x = 6x + 8 - 6x$$ $$\cancel{6x} - 2 - \cancel{6x} = \cancel{6x} + 8 - \cancel{6x}$$ $$-2 = 8$$ - Cette égalité est fausse, donc il n'y a **aucune solution** pour (E1). --- 3. **Résolution de (E2)** : - Écrire l'équation : $$\sqrt{2}(x + 5) = 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}$$ - Développer le côté gauche : $$\sqrt{2}x + 5\sqrt{2} = 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}$$ - Soustraire $3\sqrt{2}x$ des deux côtés : $$\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x + 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$$ $$\cancel{\sqrt{2}x} - 3\sqrt{2}x + 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$$ $$-2\sqrt{2}x + 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$$ - Soustraire $5\sqrt{2}$ des deux côtés : $$-2\sqrt{2}x = \sqrt{2} - 5\sqrt{2}$$ $$-2\sqrt{2}x = -4\sqrt{2}$$ - Diviser par $-2\sqrt{2}$ : $$x = \frac{-4\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}$$ $$x = \frac{\cancel{-4}\sqrt{2}}{\cancel{-2}\sqrt{2}} = 2$$ --- **Réponses finales** : - Pour (E1) : aucune solution. - Pour (E2) : $x = 2$.