1. Énonçons le problème : Trouver le reste $r(X) = cX + d$ de la division du polynôme $P_m(X) = 2^m - 1^m - 1$ par $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$. 2. Rappel : Le reste d'une division par un polynôme de degré 2 est de degré au plus 1, donc $r(X) = cX + d$. 3. Évaluons $P_m$ en $X=1$ et $X=2$ pour utiliser la propriété que $r(1) = P_m(1)$ et $r(2) = P_m(2)$ : $$r(1) = c \cdot 1 + d = c + d = P_m(1) = 2^m - 1^m - 1 = 2^m - 2$$ $$r(2) = c \cdot 2 + d = 2c + d = P_m(2) = 3^m - 2^m - 1$$ 4. Nous avons donc le système de deux équations à deux inconnues : $$\begin{cases} c + d = 2^m - 2 \\ 2c + d = 3^m - 2^m - 1 \end{cases}$$ 5. Soustrayons la première équation de la deuxième pour éliminer $d$ : $$\cancel{2c} + d - (\cancel{c} + d) = (3^m - 2^m - 1) - (2^m - 2)$$ $$c = 3^m - 2^m - 1 - 2^m + 2 = 3^m - 2 \cdot 2^m + 1$$ 6. Remplaçons $c$ dans la première équation pour trouver $d$ : $$3^m - 2 \cdot 2^m + 1 + d = 2^m - 2$$ $$d = 2^m - 2 - 3^m + 2 \cdot 2^m - 1 = 3 \cdot 2^m - 3 - 3^m$$ 7. Conclusion : Le reste de la division est $$r(X) = cX + d = \left(3^m - 2 \cdot 2^m + 1\right) X + \left(3 \cdot 2^m - 3 - 3^m\right)$$