1. مسئله: معادله $$5 = 10 - 9x + 3x^2 - 3x^3$$ داده شده است و گفته شده که $$x = \frac{2}{3}$$ یکی از ریشه‌های آن است. هدف یافتن ریشه‌های دیگر معادله است. 2. ابتدا معادله را به شکل استاندارد صفر برابر می‌کنیم: $$5 = 10 - 9x + 3x^2 - 3x^3 \implies 0 = 10 - 9x + 3x^2 - 3x^3 - 5$$ $$\Rightarrow 0 = 5 - 9x + 3x^2 - 3x^3$$ 3. معادله را مرتب می‌کنیم: $$-3x^3 + 3x^2 - 9x + 5 = 0$$ برای ساده‌تر شدن، همه را در $$-1$$ ضرب می‌کنیم: $$3x^3 - 3x^2 + 9x - 5 = 0$$ 4. چون $$x=\frac{2}{3}$$ ریشه است، می‌توانیم چندجمله‌ای را بر $$x - \frac{2}{3}$$ تقسیم کنیم تا چندجمله‌ای درجه دوم باقی‌مانده را بیابیم. 5. تقسیم چندجمله‌ای: چون تقسیم بر $$x - \frac{2}{3}$$ سخت است، ابتدا چندجمله‌ای را در 3 ضرب می‌کنیم تا ضریب‌ها عدد صحیح شوند: $$3(3x^3 - 3x^2 + 9x - 5) = 9x^3 - 9x^2 + 27x - 15$$ و تقسیم بر $$3x - 2$$ انجام می‌دهیم. 6. تقسیم چندجمله‌ای $$9x^3 - 9x^2 + 27x - 15$$ بر $$3x - 2$$: - بخش اول: $$\frac{9x^3}{3x} = 3x^2$$ - ضرب: $$3x^2(3x - 2) = 9x^3 - 6x^2$$ - تفاضل: $$(9x^3 - 9x^2) - (9x^3 - 6x^2) = -3x^2$$ - پایین آوردن $$+27x$$ - بخش دوم: $$\frac{-3x^2}{3x} = -x$$ - ضرب: $$-x(3x - 2) = -3x^2 + 2x$$ - تفاضل: $$(-3x^2 + 27x) - (-3x^2 + 2x) = 25x$$ - پایین آوردن $$-15$$ - بخش سوم: $$\frac{25x}{3x} = \frac{25}{3}$$ - ضرب: $$\frac{25}{3}(3x - 2) = 25x - \frac{50}{3}$$ - تفاضل: $$(25x - 15) - (25x - \frac{50}{3}) = -15 + \frac{50}{3} = \frac{5}{3}$$ 7. باقی‌مانده صفر نیست، پس باید دوباره بررسی کنیم. اما چون $$x=\frac{2}{3}$$ ریشه است، باقی‌مانده باید صفر شود. بنابراین بهتر است تقسیم را به صورت چندجمله‌ای با ضرایب کسری انجام دهیم. 8. تقسیم $$3x^3 - 3x^2 + 9x - 5$$ بر $$x - \frac{2}{3}$$: - بخش اول: $$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$$ - ضرب: $$3x^2(x - \frac{2}{3}) = 3x^3 - 2x^2$$ - تفاضل: $$(3x^3 - 3x^2) - (3x^3 - 2x^2) = -x^2$$ - پایین آوردن $$+9x$$ - بخش دوم: $$\frac{-x^2}{x} = -x$$ - ضرب: $$-x(x - \frac{2}{3}) = -x^2 + \frac{2}{3}x$$ - تفاضل: $$(-x^2 + 9x) - (-x^2 + \frac{2}{3}x) = 9x - \frac{2}{3}x = \frac{25}{3}x$$ - پایین آوردن $$-5$$ - بخش سوم: $$\frac{\frac{25}{3}x}{x} = \frac{25}{3}$$ - ضرب: $$\frac{25}{3}(x - \frac{2}{3}) = \frac{25}{3}x - \frac{50}{9}$$ - تفاضل: $$(\frac{25}{3}x - 5) - (\frac{25}{3}x - \frac{50}{9}) = -5 + \frac{50}{9} = \frac{5}{9}$$ 9. باقی‌مانده هنوز صفر نیست، پس باید بررسی کنیم که آیا $$x=\frac{2}{3}$$ واقعا ریشه است یا خیر. جایگذاری در معادله اصلی: $$3\left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 9\left(\frac{2}{3}\right) - 5 = 3\times \frac{8}{27} - 3\times \frac{4}{9} + 6 - 5 = \frac{24}{27} - \frac{12}{9} + 1 = \frac{8}{9} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{8}{9} - \frac{12}{9} + \frac{9}{9} = \frac{5}{9} \neq 0$$ 10. بنابراین $$x=\frac{2}{3}$$ ریشه معادله نیست. احتمالاً اشتباهی در صورت سوال یا داده‌ها وجود دارد. 11. اگر فرض کنیم معادله به صورت $$5 = 10 - 9x + 3x^2 - 3x^3$$ است و $$x=\frac{2}{3}$$ ریشه است، باید معادله را دوباره بررسی کنیم یا داده‌ها را اصلاح کنیم. 12. در نتیجه، با توجه به داده‌ها، ریشه‌های دیگر قابل یافتن نیستند مگر اینکه داده‌ها اصلاح شوند. پاسخ نهایی: با توجه به بررسی‌ها، $$x=\frac{2}{3}$$ ریشه معادله نیست و ریشه‌های دیگر قابل تعیین نیستند.