1. مسئله ۱۷: معادله داده شده است $$0 = 10 - 9x - 3x^3 - 2x^2$$ و گفته شده که $$x=\delta$$ یکی از ریشه‌های آن است. باید ریشه‌های دیگر را پیدا کنیم. 2. ابتدا معادله را به صورت استاندارد مرتب می‌کنیم: $$-3x^3 - 2x^2 - 9x + 10 = 0$$ یا $$3x^3 + 2x^2 + 9x - 10 = 0$$ (ضرب در -1 برای ساده‌تر کردن) 3. چون $$x=\delta$$ ریشه است، می‌توانیم چندجمله‌ای را بر $$x-\delta$$ تقسیم کنیم تا چندجمله‌ای درجه ۲ باقی‌مانده را بیابیم. 4. فرض کنیم تقسیم انجام شده و باقی‌مانده صفر است. پس: $$3x^3 + 2x^2 + 9x - 10 = (x - \delta)(ax^2 + bx + c)$$ 5. با ضرب دو چندجمله‌ای و برابر قرار دادن ضرایب، معادلات زیر را داریم: $$a = 3$$ $$b - a\delta = 2$$ $$c - b\delta = 9$$ $$-c\delta = -10$$ 6. از معادله آخر: $$c\delta = 10 \Rightarrow c = \frac{10}{\delta}$$ 7. از معادله سوم: $$c - b\delta = 9 \Rightarrow b = \frac{c - 9}{\delta} = \frac{\frac{10}{\delta} - 9}{\delta} = \frac{10 - 9\delta}{\delta^2}$$ 8. از معادله دوم: $$b - 3\delta = 2 \Rightarrow b = 2 + 3\delta$$ 9. برابر قرار دادن دو مقدار b: $$2 + 3\delta = \frac{10 - 9\delta}{\delta^2}$$ 10. معادله بالا را ضرب در $$\delta^2$$ می‌کنیم: $$ (2 + 3\delta)\delta^2 = 10 - 9\delta $$ 11. یعنی: $$ 2\delta^2 + 3\delta^3 = 10 - 9\delta $$ 12. معادله را به صورت استاندارد می‌نویسیم: $$ 3\delta^3 + 2\delta^2 + 9\delta - 10 = 0 $$ 13. این معادله همان معادله اصلی است، پس $$\delta$$ ریشه آن است. 14. حال برای یافتن ریشه‌های دیگر، چندجمله‌ای درجه ۲ را که ضریب‌های آن را داریم، بررسی می‌کنیم: $$3x^2 + bx + c = 0$$ با $$b = 2 + 3\delta$$ و $$c = \frac{10}{\delta}$$ 15. ریشه‌های دیگر معادله از حل این معادله درجه ۲ به دست می‌آیند: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(2 + 3\delta) \pm \sqrt{(2 + 3\delta)^2 - 4 \times 3 \times \frac{10}{\delta}}}{2 \times 3}$$ --- 16. مسئله ۱۸: چندجمله‌ای‌ها داده شده‌اند: $$P(x) = x^2 - 5$$ $$q(x) = 3 + mx - 6x^r + 2x - x^3$$ 17. گفته شده که تقسیم $$P(x)$$ بر $$1 - 2x$$ باقی‌مانده دارد و مقدار $$m$$ را باید بیابیم. 18. برای یافتن باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای بر چندجمله‌ای درجه ۱، کافی است مقدار $$P(x)$$ را در ریشه مخرج قرار دهیم. 19. ریشه $$1 - 2x = 0$$ است: $$1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ 20. باقی‌مانده تقسیم $$P(x)$$ بر $$1 - 2x$$ برابر است با: $$P\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = \frac{1}{4} - 5 = -\frac{19}{4}$$ 21. حال باید مقدار $$m$$ را طوری بیابیم که باقی‌مانده تقسیم $$q(x)$$ بر $$1 - 2x$$ برابر با همین مقدار باشد. 22. مقدار $$q\left(\frac{1}{2}\right)$$ را محاسبه می‌کنیم: $$q\left(\frac{1}{2}\right) = 3 + m \times \frac{1}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r + 2 \times \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^3$$ 23. ساده‌سازی: $$= 3 + \frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r + 1 - \frac{1}{8} = 4 + \frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r - \frac{1}{8}$$ 24. برابر قرار دادن باقی‌مانده‌ها: $$4 + \frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r - \frac{1}{8} = -\frac{19}{4}$$ 25. ساده‌سازی سمت چپ: $$4 - \frac{1}{8} = \frac{32}{8} - \frac{1}{8} = \frac{31}{8}$$ 26. معادله نهایی: $$\frac{31}{8} + \frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r = -\frac{19}{4}$$ 27. تبدیل سمت راست به مخرج 8: $$-\frac{19}{4} = -\frac{38}{8}$$ 28. پس: $$\frac{31}{8} + \frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r = -\frac{38}{8}$$ 29. انتقال $$\frac{31}{8}$$ به سمت راست: $$\frac{m}{2} - 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^r = -\frac{38}{8} - \frac{31}{8} = -\frac{69}{8}$$ 30. در اینجا چون مقدار $$r$$ مشخص نیست، نمی‌توان مقدار دقیق $$m$$ را یافت مگر اینکه $$r$$ داده شده باشد یا فرضیاتی کنیم. 31. اگر فرض کنیم $$r=1$$ (برای مثال)، آنگاه: $$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$$ 32. جایگذاری: $$\frac{m}{2} - 6 \times \frac{1}{2} = -\frac{69}{8} \Rightarrow \frac{m}{2} - 3 = -\frac{69}{8}$$ 33. انتقال 3 به سمت راست: $$\frac{m}{2} = -\frac{69}{8} + 3 = -\frac{69}{8} + \frac{24}{8} = -\frac{45}{8}$$ 34. ضرب در 2: $$m = -\frac{45}{8} \times 2 = -\frac{90}{8} = -\frac{45}{4}$$ 35. بنابراین اگر $$r=1$$ باشد، $$m = -\frac{45}{4}$$. --- نتیجه نهایی: - ریشه‌های دیگر معادله ۱۷ از حل معادله درجه ۲ $$3x^2 + (2 + 3\delta)x + \frac{10}{\delta} = 0$$ به دست می‌آیند. - مقدار $$m$$ در مسئله ۱۸ بستگی به مقدار $$r$$ دارد و اگر $$r=1$$ باشد، $$m = -\frac{45}{4}$$ است.