1. Rozwiązać równania macierzowe. **a)** Dane jest równanie macierzowe $$X \cdot \begin{bmatrix}2 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & -8 & 2 \\ 8 & 14 & 14\end{bmatrix}$$ Chcemy znaleźć macierz $X$. **Krok 1:** Aby rozwiązać równanie $X \cdot A = C$, gdzie $A$ i $C$ są znane, możemy pomnożyć obie strony równania przez macierz odwrotną $A^{-1}$ od prawej strony, jeśli $A$ jest kwadratowa i odwracalna. **Ważne:** Macierz odwrotna istnieje tylko dla macierzy kwadratowych i odwracalnych. **Krok 2:** W tym przypadku $A$ jest macierzą $2 \times 3$, więc nie jest kwadratowa, więc nie możemy bezpośrednio użyć $A^{-1}$. **Krok 3:** Możemy jednak rozwiązać układ równań dla $X$ traktując go jako macierz $2 \times 2$ i stosując metody równań macierzowych lub rozkładów, ale w tym przypadku problem jest niedoprecyzowany, więc zakładamy, że $X$ jest $2 \times 2$ i szukamy rozwiązania. **b)** Dane jest równanie $$X \cdot \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9 & -9 & 10 & 7 \\ 6 & -1 & 2\end{bmatrix}$$ **Krok 1:** Sprawdzamy wymiary macierzy. Lewa strona to $X$ razy macierz $2 \times 3$, więc $X$ musi mieć wymiar $m \times 2$, a wynik ma wymiar $m \times 3$. **Krok 2:** W macierzy po prawej stronie jest $2$ wiersze i $4$ kolumny, co jest sprzeczne z wymiarami lewej strony (wynik powinien mieć $m \times 3$). **Krok 3:** Aby równanie miało rozwiązanie, wymiary muszą się zgadzać, więc wartości $a$ i $b$ muszą być takie, aby macierz po prawej stronie miała wymiary zgodne z lewą stroną. W tym przypadku problem wymaga uzupełnienia danych, aby określić $a$ i $b$. **c)** Dane jest równanie $$A^{-1} X A = AB$$ gdzie $$A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{bmatrix}$$ **Krok 1:** Aby znaleźć $X$, mnożymy obie strony równania przez $A$ z lewej i $A^{-1}$ z prawej: $$X = A (AB) A^{-1}$$ **Krok 2:** Obliczamy $AB$, następnie mnożymy przez $A$ i $A^{-1}$ zgodnie z kolejnością. **d)** Dane jest równanie $$X^T X = I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ gdzie $$X = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$$ **Krok 1:** Obliczamy $$X^T X = \begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2\end{bmatrix}$$ **Krok 2:** Równanie $$X^T X = I$$ oznacza: $$a^2 + c^2 = 1$$ $$b^2 + d^2 = 1$$ $$ab + cd = 0$$ **Interpretacja:** Macierz $X$ jest ortogonalna, czyli jej kolumny są ortonormalne. 2. Znaleźć elementy macierzy odwrotnej $B = A^{-1}$ dla macierzy $$A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ Szukamy elementów $b_{33}$, $b_{12}$, $b_{35}$ macierzy $B$. **Krok 1:** Obliczamy macierz odwrotną $B = A^{-1}$ metodą Gaussa-Jordana lub inną metodą numeryczną. **Krok 2:** Po obliczeniu macierzy $B$ odczytujemy elementy: - $b_{33}$ to element w 3. wierszu i 3. kolumnie - $b_{12}$ to element w 1. wierszu i 2. kolumnie - $b_{35}$ to element w 3. wierszu i 5. kolumnie **Podsumowanie:** - W zadaniu a) nie można użyć macierzy odwrotnej, bo macierz $A$ nie jest kwadratowa. - W zadaniu b) należy doprecyzować wymiary i wartości $a$, $b$. - W zadaniu c) wyrażamy $X$ przez $A$, $B$ i $A^{-1}$. - W zadaniu d) $X$ jest ortogonalna, spełnia warunki ortonormalności kolumn. - W zadaniu 2 należy obliczyć macierz odwrotną i odczytać wskazane elementy.