1. **Stwierdzenie problemu:** Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji $$f(x) = \frac{4x + 2}{x + 1}$$ w punkcie $$x_0 = 1$$. 2. **Wzór na równanie stycznej:** Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie $$x_0$$ ma postać: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ Gdzie $$f'(x_0)$$ to pochodna funkcji w punkcie $$x_0$$, a $$f(x_0)$$ to wartość funkcji w tym punkcie. 3. **Obliczenie wartości funkcji w punkcie $$x_0=1$$:** $$f(1) = \frac{4 \cdot 1 + 2}{1 + 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 4. **Obliczenie pochodnej funkcji:** Funkcja jest ilorazem, więc używamy wzoru na pochodną ilorazu: $$f'(x) = \frac{(4x + 2)'(x + 1) - (4x + 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2}$$ Obliczamy pochodne licznika i mianownika: $$(4x + 2)' = 4$$ $$(x + 1)' = 1$$ Podstawiamy: $$f'(x) = \frac{4(x + 1) - (4x + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{4x + 4 - 4x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$$ 5. **Obliczenie pochodnej w punkcie $$x_0=1$$:** $$f'(1) = \frac{2}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 6. **Zapisanie równania stycznej:** $$y = f'(1)(x - 1) + f(1) = \frac{1}{2}(x - 1) + 3$$ 7. **Uproszczenie równania:** $$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$ **Ostateczna odpowiedź:** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}}$$