1. Bài toán yêu cầu rút gọn biểu thức phân số $$\frac{2x^3 - 7x^2 - 12x + 45}{3x^3 - 19x^2 + 33x - 9}$$. 2. Công thức rút gọn phân số đại số là phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử rồi loại bỏ các nhân tử chung. 3. Ta bắt đầu phân tích tử số: $$2x^3 - 7x^2 - 12x + 45$$. 4. Nhóm các hạng tử để phân tích: $$(2x^3 - 7x^2) + (-12x + 45)$$. 5. Lấy nhân tử chung từng nhóm: $$x^2(2x - 7) - 3(4x - 15)$$. 6. Chú ý rằng $4x - 15$ khác $2x - 7$, nên ta thử phương pháp phân tích đa thức bậc ba bằng cách tìm nghiệm nguyên. 7. Thử các nghiệm nguyên của tử số theo định lý nghiệm nguyên: các ước của 45 chia cho 2, thử $x=3$: $$2(3)^3 - 7(3)^2 - 12(3) + 45 = 2(27) - 7(9) - 36 + 45 = 54 - 63 - 36 + 45 = 0$$ Vậy $x=3$ là nghiệm của tử số. 8. Chia đa thức tử số cho $(x-3)$: $$\frac{2x^3 - 7x^2 - 12x + 45}{x - 3} = 2x^2 - x - 15$$ 9. Phân tích tiếp đa thức bậc hai $2x^2 - x - 15$: Tìm hai số $a,b$ sao cho $a \times b = 2 \times (-15) = -30$ và $a + b = -1$. Hai số đó là 5 và -6. 10. Ta viết lại: $$2x^2 - x - 15 = 2x^2 + 5x - 6x - 15 = x(2x + 5) - 3(2x + 5) = (x - 3)(2x + 5)$$ 11. Vậy tử số phân tích thành: $$2x^3 - 7x^2 - 12x + 45 = (x - 3)^2 (2x + 5)$$ 12. Tiếp tục phân tích mẫu số: $$3x^3 - 19x^2 + 33x - 9$$. 13. Thử nghiệm nguyên với $x=3$: $$3(3)^3 - 19(3)^2 + 33(3) - 9 = 81 - 171 + 99 - 9 = 0$$ Vậy $x=3$ cũng là nghiệm của mẫu số. 14. Chia mẫu số cho $(x-3)$: $$\frac{3x^3 - 19x^2 + 33x - 9}{x - 3} = 3x^2 - 10x + 3$$ 15. Phân tích tiếp đa thức bậc hai $3x^2 - 10x + 3$: Tìm hai số $a,b$ sao cho $a \times b = 3 \times 3 = 9$ và $a + b = -10$. Hai số đó là -9 và -1. 16. Viết lại: $$3x^2 - 10x + 3 = 3x^2 - 9x - x + 3 = 3x(x - 3) - 1(x - 3) = (x - 3)(3x - 1)$$ 17. Vậy mẫu số phân tích thành: $$3x^3 - 19x^2 + 33x - 9 = (x - 3)(x - 3)(3x - 1) = (x - 3)^2 (3x - 1)$$ 18. Rút gọn phân số: $$\frac{(x - 3)^2 (2x + 5)}{(x - 3)^2 (3x - 1)} = \frac{\cancel{(x - 3)^2} (2x + 5)}{\cancel{(x - 3)^2} (3x - 1)} = \frac{2x + 5}{3x - 1}$$ 19. Kết luận: Biểu thức đã được rút gọn thành $$\frac{2x + 5}{3x - 1}$$ với điều kiện $x \neq 3$ để mẫu số không bằng 0.