1. **Problem:** Wandle die Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 8$ in Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt an. Bestimme, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet ist. 2. **Formel:** Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ Hier ist $(h,k)$ der Scheitelpunkt. 3. **Wichtig:** Um von der allgemeinen Form $ax^2 + bx + c$ zur Scheitelpunktform zu gelangen, verwenden wir die Methode "quadratische Ergänzung". 4. **Schritte:** a) Schreibe die Funktion: $$f(x) = x^2 - 6x + 8$$ b) Faktor $a=1$ vor die Klammer (hier 1, also bleibt es gleich): $$f(x) = (x^2 - 6x) + 8$$ c) Quadratische Ergänzung: Nehme die Hälfte von $b = -6$, also $-3$, und quadriere sie: $$(-3)^2 = 9$$ d) Füge $+9$ und $-9$ innerhalb der Klammer hinzu, um die Gleichung nicht zu verändern: $$f(x) = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 8$$ e) Gruppiere die ersten drei Terme als Quadrat: $$f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 8$$ f) Vereinfache: $$f(x) = (x - 3)^2 - 1$$ 5. **Scheitelpunkt:** Der Scheitelpunkt ist bei $S(3, -1)$. 6. **Öffnung:** Da $a=1 > 0$, ist die Parabel nach oben geöffnet. **Endergebnis:** $$f(x) = (x - 3)^2 - 1$$ Scheitelpunkt: $S(3, -1)$ Graph ist nach oben geöffnet.